Gọi \(M,\,\,m\) lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

Câu hỏi số 243946:

Vận dụng

Gọi \(M,\,\,m\) lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y=\frac{\cos x+2\sin x+3}{2\cos x-\sin x+4}.\) Khi đó

A. \(M=2,\,\,m=\frac{1}{2}.\)

B. \(M=1,\,\,m=-\,1.\)

C. \(M=2,\,\,m=\frac{2}{11}.\)

D. \(M=1,\,\,m=-\,7.\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:243946

Phương pháp giải

Đưa về phương trình lượng giác cơ bản dạng a.sinx + b.cosx = c và sử dụng điều kiện có nghiệm của phương trình :\({{a}^{2}}+{{b}^{2}}\ge {{c}^{2}}.\)

Giải chi tiết

Ta có \(y=\frac{\cos x+2\sin x+3}{2\cos x-\sin x+4}\Leftrightarrow \cos x+2\sin x+3=y\left( 2\cos x-\sin x+4 \right).\)

\(\Leftrightarrow \cos x+2\sin x+3=2y.\cos x-y.\sin x+4y\)\(\Leftrightarrow \left( y+2 \right).\sin x+\left( 1-2y \right).\cos x=4y-3\) \(\left( * \right).\)

Để phương trình \(\left( * \right)\) có nghiệm khi và chỉ khi

\(\begin{align} & {{\left( y+2 \right)}^{2}}+{{\left( 1-2y \right)}^{2}}\ge {{\left( 4y-3 \right)}^{2}} \\ & \Leftrightarrow {{y}^{2}}+4y+4+4{{y}^{2}}-4y+1\ge 16{{y}^{2}}-24y+9 \\ & \Leftrightarrow 11{{y}^{2}}-24y+4\le 0\Leftrightarrow \frac{2}{11}\le y\le 2. \\\end{align}\)

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là \(M=2,\) giá trị nhỏ nhất của hàm số là \(m=\frac{2}{11}.\)

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.