Tìm tất cả các giá trị thực của tham số a để hàm số \(y={{x}^{3}}-27ax\) có cực đại, cực

Câu hỏi số 245427:

Vận dụng

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số a để hàm số \(y={{x}^{3}}-27ax\) có cực đại, cực tiểu và đường thẳng đi qua cực đại và cực tiểu của đồ thị hàm số đi qua gốc tọa độ :

A. \(a<0\)

B. \(a<-1\)

C. \(-1<a<0\)

D. \(a>0\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:245427

Phương pháp giải

+) Tính y’, tìm điều kiện để phương trình \(y'=0\) có 2 nghiệm phân biệt.

+) Tìm các điểm cực trị của đồ thị hàm số và viết phương trình đường thẳng (d) đi qua các điểm cực trị.

+) Tìm điều kiện để \(O\left( 0;0 \right)\in d\).

Giải chi tiết

Ta có : \(y'=3{{x}^{2}}-27a=0\Leftrightarrow {{x}^{2}}=9a\).

Để hàm số có cực đại, cực tiểu \(\Leftrightarrow pt\,\,y'=0\) có 2 nghiệm phân biệt \(\Leftrightarrow a>0.\)

Khi đó phương trình \(y'=0\) có 2 nghiệm phân biệt \(\left[ \begin{align} & x=3\sqrt{a}\,\Rightarrow y=-54a\sqrt{a}\Rightarrow A\left( 3\sqrt{a};-54a\sqrt{a} \right) \\ & x=-3\sqrt{a}\Rightarrow y=54a\sqrt{a}\Leftrightarrow B\left( -3\sqrt{a};54a\sqrt{a} \right) \\ \end{align} \right.\)

\(\Rightarrow \) Phương trình đường thẳng đi qua cực đại, cực tiểu là :

\(\begin{align} & \frac{x+3\sqrt{a}}{3\sqrt{a}+3\sqrt{a}}=\frac{y-54a\sqrt{a}}{-54a\sqrt{a}-54a\sqrt{a}}\Leftrightarrow \frac{x+3\sqrt{a}}{6\sqrt{a}}=\frac{y-54a\sqrt{a}}{-108a\sqrt{a}} \\ & \Leftrightarrow 18a\left( x+3\sqrt{a} \right)=-y+54a\sqrt{a}\Leftrightarrow 18ax+y=0\,\,\,\left( d \right) \\ \end{align}\)

Ta thấy đường thẳng d luôn đi qua gốc tọa độ với mọi \(a>0\).

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.