Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba mặt phẳng \(\left( P \right):\,\,x-2y+z-1=0\), \(\left( Q

Câu hỏi số 246725:

Vận dụng

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba mặt phẳng \(\left( P \right):\,\,x-2y+z-1=0\), \(\left( Q \right):\,\,x-2y+z+8=0\) và \(\left( R \right):\,\,x-2y+z-4=0\). Một đường thẳng d thay đổi cắt ba mặt phẳng \(\left( P \right);\left( Q \right);\left( R \right)\) lần lượt tại A, B, C. Đặt \(T=\frac{A{{B}^{2}}}{4}+\frac{144}{AC}\). Tìm giá trị nhỏ nhất của \(T\).

A. \(\min T=108\)

B. \(\min T=54\sqrt[3]{2}\)

C. \(\min T=96\)

D. \(\min T=72\sqrt[3]{2}\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:246725

Phương pháp giải

3 mặt phẳng \(\left( P \right);\left( Q \right);\left( R \right)\) song song với nhau và (P) nằm giữa (Q) và (R), tính khoảng cách giữa các mặt phẳn song song.

Phân tích \(T=\frac{A{{B}^{2}}}{4}+\frac{144}{AC}=\frac{A{{B}^{2}}}{4}+\frac{72}{AC}+\frac{72}{AC}\), sử dụng BĐT Cauchy cho ba số không âm \(a+b+c\ge 3\sqrt[3]{abc}\) và định lí Ta-let.

Giải chi tiết

Dễ dàng thấy 3 mặt phẳng \(\left( P \right);\left( Q \right);\left( R \right)\) song song với nhau và (P) nằm giữa (Q) và (R), ta tính được \(d\left( \left( P \right);\left( Q \right) \right)=BH=9;\,\,d\left( \left( P \right);\left( R \right) \right)=HK=3\)

Ta có:

\(\begin{align}& T=\frac{A{{B}^{2}}}{4}+\frac{144}{AC}=\frac{A{{B}^{2}}}{4}+\frac{72}{AC}+\frac{72}{AC} \\ & \overset{Cauchy}{\mathop{\ge }}\,3\sqrt[3]{\frac{A{{B}^{2}}}{4}.\frac{72}{AC}.\frac{72}{AC}}=3\sqrt[3]{1296.{{\left( \frac{AB}{AC} \right)}^{2}}} \\ \end{align}\)

Theo định lí Ta-let ta có :

\(\frac{AB}{AC}=\frac{BH}{HK}=3\Rightarrow T\overset{Cauchy}{\mathop{\ge }}\,3\sqrt[3]{{{1296.3}^{2}}}=54\sqrt[3]{2}\)

Vậy \(\min T=54\sqrt[3]{2}\).

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.