Đường cong \(y = {x^4} - 2m{x^2} - m - 1\) có ba điểm cực trị lập thành một tam giác \(ABC\) sao cho

Câu hỏi số 247237:

Vận dụng

Đường cong \(y = {x^4} - 2m{x^2} - m - 1\) có ba điểm cực trị lập thành một tam giác \(ABC\) sao cho tồn tại góc \({120^0}\). Giá trị của tham số m?

A. \(m = {1 \over {\root 3 \of 3 }}\)

B. \(m = \root 3 \of 3 \)

C. \(m = - {1 \over {\root 3 \of 2 }}\)

D. \(m = - {1 \over {\root 3 \of 5 }}\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:247237

Phương pháp giải

+) Tìm điều kiện để hàm số có ba điểm cực trị.

+) Tìm các điểm cực trị A, B, C.

+) Tam giác ABC cân, giả sử cân tại A, có chứa góc 120⁰ \( \Rightarrow \widehat {BAC} = {120^0}\), tính các cạnh của tam giác ABC và sử dụng công thức định lí cosin trong tam giác.

Giải chi tiết

TXĐ: \(D = R\)

Ta có: \(y' = 4{x^3} - 4mx = 0 \Leftrightarrow 4x\left( {{x^2} - m} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = 0 \hfill \cr {x^2} = m \hfill \cr} \right.\)

Để hàm số có ba điểm cực trị \( \Leftrightarrow pt\,\,y' = 0\) có 3 nghiệm phân biệt \( \Leftrightarrow m > 0\)

Khi đó \(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = 0 \Rightarrow y = - m - 1 \Rightarrow A\left( {0; - m - 1} \right) \hfill \cr x = \sqrt m \Rightarrow y = - {m^2} - m - 1 \Rightarrow B\left( {\sqrt m ; - {m^2} - m - 1} \right) \hfill \cr x = - \sqrt m \Rightarrow y = - {m^2} - m - 1 \Rightarrow C\left( { - \sqrt m ; - {m^2} - m - 1} \right) \hfill \cr} \right.\)

Tam giác \(ABC\) cân tại A có \(AB = AC = \sqrt {m + {m^4}} ,\,\,BC = 2\sqrt m \), tồn tại góc \({120^0} \Rightarrow \widehat {BAC} = {120^0}\)

\(\eqalign{ & \Rightarrow \cos \widehat {BAC} = {{A{B^2} + A{C^2} - B{C^2}} \over {2AB.AC}} \cr & \Leftrightarrow {{ - 1} \over 2} = {{2m + 2{m^4} - 4m} \over {2\left( {m + {m^4}} \right)}} \cr & \Leftrightarrow - \left( {m + {m^4}} \right) = 2{m^4} - 2m \cr & \Leftrightarrow m = 3{m^4} \cr & \Leftrightarrow \left[ \matrix{ m = 0\,\,\,\left( {ktm} \right) \hfill \cr {m^3} = {1 \over 3} \hfill \cr} \right. \Rightarrow m = {1 \over {\root 3 \of 3 }}\,\,\left( {tm} \right) \cr} \)

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.