Đường cong \(y = {x^4} - 2m{x^2} + 3\) có ba điểm cực trị lập thành tam giác ABC cân sao cho độ

Câu hỏi số 247238:

Vận dụng

Đường cong \(y = {x^4} - 2m{x^2} + 3\) có ba điểm cực trị lập thành tam giác ABC cân sao cho độ dài đường cao xuất phát từ đỉnh bằng độ dài cạnh đáy. Giá trị của tham số m?

A. \(m = \root 3 \of {15} \)

B. \(m = \root 3 \of 3 \)

C. \(m = \root 3 \of 4 \)

D. \(m = \root 3 \of {10} \)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:247238

Phương pháp giải

+) Tìm điều kiện để hàm số có ba điểm cực trị.

+) Tìm các điểm cực trị A, B, C.

+) Tam giác ABC luôn là tam giác cân, giả sử cân tại A, tìm điều kiện để \(d\left( {A;BC} \right) = BC\).

Giải chi tiết

TXĐ: \(D = R\).

Ta có: \(y' = 4{x^3} - 4mx = 0 \Leftrightarrow 4x\left( {{x^2} - m} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = 0 \hfill \cr {x^2} = m \hfill \cr} \right.\)

Để hàm số có ba điểm cực trị \( \Leftrightarrow pt\,\,y' = 0\) có 3 nghiệm phân biệt \( \Leftrightarrow m > 0\).

Khi đó \(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = 0 \Rightarrow y = 3 \Rightarrow A\left( {0;3} \right) \hfill \cr x = \sqrt m \Rightarrow y = - {m^2} + 3 \Rightarrow B\left( {\sqrt m ; - {m^2} + 3} \right) \hfill \cr x = - \sqrt m \Rightarrow y = - {m^2} + 3 \Rightarrow C\left( { - \sqrt m ; - {m^2} + 3} \right) \hfill \cr} \right.\)

Phương trình đường thẳng \(BC:\,\,y = - {m^2} + 3 \Rightarrow d\left( {A;BC} \right) = {{\left| {{m^2}} \right|} \over {\sqrt {{0^2} + {1^2}} }} = {m^2};\,\,BC = 2\sqrt m \)

Để độ dài đường cao xuất phát từ đỉnh bằng độ dài cạnh đáy

\( \Leftrightarrow d\left( {A;BC} \right) = BC \Leftrightarrow {m^2} = 2\sqrt m \Leftrightarrow \left[ \matrix{ m = 0\,\,\,\left( {ktm} \right) \hfill \cr m\sqrt m = 2 \hfill \cr} \right. \Rightarrow {m^3} = 4 \Leftrightarrow m = \root 3 \of 4 \)

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.