Cho hàm số \(f(x)\) thỏa mãn \({{\left( {f}'(x) \right)}^{2}}+f(x).{{f}'}'(x)=15{{x}^{4}}+12x,\,\,\forall x\in

Câu hỏi số 248913:

Vận dụng cao

Cho hàm số \(f(x)\) thỏa mãn \({{\left( {f}'(x) \right)}^{2}}+f(x).{{f}'}'(x)=15{{x}^{4}}+12x,\,\,\forall x\in R\) và \(f(0)={f}'(0)=1.\) Giá trị của \({{f}^{2}}(1)\) bằng

A. \(4\)

B. \(\frac{9}{2}.\)

C. \(10.\)

D. \(\frac{5}{2}.\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:248913

Phương pháp giải

+) Nhận xét \(VT=\left[ f\left( x \right).f'\left( x \right) \right]'\) .

+) Lấy nguyên hàm hai vế hai lần.

Giải chi tiết

Ta có \(\left[ f\left( x \right).f'\left( x \right) \right]'={{\left[ f'\left( x \right) \right]}^{2}}+f\left( x \right).f''\left( x \right)=15{{x}^{4}}+12x\)

Nguyên hàm 2 vế ta được \(f\left( x \right).f'\left( x \right)=3{{x}^{5}}+6{{x}^{2}}+C\)

Do \(f\left( 0 \right)=f'\left( 0 \right)=1\Rightarrow C=1\)

Tiếp tục nguyên hàm 2 vế ta được: \(\int{f\left( x \right)df\left( x \right)}=\int{\left( 3{{x}^{5}}+6{{x}^{2}}+1 \right)dx}\)

\(\Rightarrow \frac{{{f}^{2}}\left( x \right)}{2}=\frac{3{{x}^{6}}}{6}+\frac{6{{x}^{3}}}{3}+x+D=\frac{1}{2}{{x}^{6}}+2{{x}^{3}}+x+D\).

Do \(f\left( 0 \right)=1\Rightarrow D=\frac{1}{2}\Rightarrow {{f}^{2}}\left( x \right)=\frac{1}{2}{{x}^{6}}+2{{x}^{3}}+x+\frac{1}{2}\Rightarrow {{f}^{2}}\left( 1 \right)=4\)

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.