Trong không gian \(Oxyz,\) cho mặt phẳng \((\alpha ):x-z-3=0\) và điểm \(M(1;\,\,1;\,\,1).\) Gọi \(A\) là

Câu hỏi số 248914:

Vận dụng

Trong không gian \(Oxyz,\) cho mặt phẳng \((\alpha ):x-z-3=0\) và điểm \(M(1;\,\,1;\,\,1).\) Gọi \(A\) là điểm thuộc tia \(Oz,\) \(B\) là hình chiếu của \(A\) lên \((\alpha ).\) Biết rằng tam giác \(MAB\) cân tại \(M.\) Diện tích của tam giác \(MAB\) bằng

A. \(\frac{3\sqrt{123}}{2}.\)

B. \(6\sqrt{3}.\)

C. \(\frac{3\sqrt{3}}{2}.\)

\(3\sqrt{3}.\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:248914

Phương pháp giải

+) Gọi \(A\left( 0;0;a \right),\,\,\left( a>0 \right)\) viết phương trình đường thẳng AB đi qua A và vuông góc với \(\left( \alpha \right)\).

+) \(B=AB\cap \left( \alpha \right)\), tìm tọa độ điểm B theo a.

+) Tam giác MAB cân tại M \(\Rightarrow MA=MB\), tìm a.

+) Sử dụng công thức tính diện tích \({{S}_{\Delta \,MAB}}=\frac{1}{2}\left| \left[ \overrightarrow{MA};\overrightarrow{MB} \right] \right|\).

Giải chi tiết

Gọi \(A\left( 0;0;a \right)\,\,\left( a>0 \right),\) vì \(AB\bot \,\,mp\,\,\left( \alpha \right)\)\(\Rightarrow \) Phương trình đường thẳng \(\left( AB \right):\left\{ \begin{align} & x=t \\ & y=0 \\ & z=a-t \\ \end{align} \right..\)

Mà \(B=AB\cap \left( \alpha \right)\)\(\Rightarrow \,\,B\left( t;0;a-t \right)\) và \(B\in \,\,mp\,\,\left( \alpha \right)\)\(\Rightarrow \)\(t-\left( a-t \right)-3=0\Leftrightarrow t=\frac{a+3}{2}.\)

Khi đó \(B\left( \frac{a+3}{2};0;\frac{a-3}{2} \right)\Rightarrow \left\{ \begin{align} & \overrightarrow{AM}=\left( 1;1;1-a \right) \\ & \overrightarrow{BM}=\left( -\frac{a+1}{2};1;\frac{5-a}{2} \right) \\ \end{align} \right.\)

\(\begin{array}{l}
AM = BM \Leftrightarrow A{M^2} = B{M^2} \Leftrightarrow 2 + {\left( {1 - a} \right)^2} = 1 + \frac{{{{\left( {a + 1} \right)}^2} + {{\left( {5 - a} \right)}^2}}}{4}\\
\Leftrightarrow {a^2} - 2a + 2 = \frac{{2{a^2} - 8a + 26}}{4}\\
\Leftrightarrow 2{a^2} = 18 \Leftrightarrow {a^2} = 9 \Leftrightarrow a = 3\,\,\left( {a > 0} \right)\\
\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\overrightarrow {AM} = \left( {1;1; - 2} \right)\\
\overrightarrow {BM} = \left( { - 2;1;1} \right)
\end{array} \right. \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {MA} ;\overrightarrow {MB} } \right] = \left( {3;3;3} \right)
\end{array}\)

Vậy diện tích tam giác \(MAB\) là \({{S}_{\Delta \,MAB}}=\frac{1}{2}\left| \left[ \overrightarrow{MA};\overrightarrow{MB} \right] \right|=\frac{3\sqrt{3}}{2}.\)

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.