Hai quả bóng hình cầu có kích thước khác nhau được đặt ở hai góc của một căn nhà hình

Câu hỏi số 249112:

Vận dụng cao

Hai quả bóng hình cầu có kích thước khác nhau được đặt ở hai góc của một căn nhà hình hộp chữ nhật sao cho mỗi quả bóng đều tiếp xúc với hai bức tường và nền của nhà đó. Biết rằng trên bề mặt của quả bóng đều tồn tại một điểm có khoảng cách đến hai bức tường và nền nhà mà nó tiếp xúc bằng 1, 2, 4. Tổng độ dài đường kính của hai quả bóng đó.

A. 6

B. 14

C. 12

D. 10

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:249112

Phương pháp giải

Gắn hệ tọa độ Oxyz, tìm bán kính quả bóng chính là bán kính của mặt cầu

Giải chi tiết

Xét quả bóng tiếp xúc với các bức tường và chọn hệ trục \(Oxyz\) như hình vẽ bên (tương tự với góc tường còn lại).

Gọi \(I\left( a;a;a \right)\) là tâm của mặt cầu (tâm quả bóng) và \(R=a.\)

\(\Rightarrow \) phương trình mặt cầu của quả bóng là

\(\left( S \right):{{\left( x-a \right)}^{2}}+{{\left( y-a \right)}^{2}}+{{\left( z-a \right)}^{2}}={{a}^{2}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right).\)

Giả sử \(M\left( x;y;z \right)\) nằm trên mặt cầu (bề mặt của quả bóng) sao cho \(d\left( M;\left( Oxy \right) \right)=1,\,\,d\left( M;\left( Oyz \right) \right)=2,\,\,d\left( M;\left( Oxz \right) \right)=3\)

Khi đó \(z=1;\,\,x=2;\,\,y=3\,\,\Rightarrow \,\,M\left( 2;3;1 \right)\in \left( S \right)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right).\)

Từ \(\left( 1 \right),\left( 2 \right)\) suy ra \({{\left( 1-a \right)}^{2}}+{{\left( 2-a \right)}^{2}}+{{\left( 4-a \right)}^{2}}={{a}^{2}}\)

\(\Rightarrow \,\,\left\{ \begin{align} & {{R}_{1}}={{a}_{1}}=\frac{7-\sqrt{7}}{2} \\ & {{R}_{2}}={{a}_{2}}=\frac{7+\sqrt{7}}{2} \\\end{align} \right.\Rightarrow \,\,{{d}_{1}}+{{d}_{2}}=2\left( {{R}_{1}}+{{R}_{2}} \right)=14.\)

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.