Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên R và \(f\left( x \right)\ne 0\) với mọi \(x\in R\).

Câu hỏi số 249330:

Vận dụng cao

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên R và \(f\left( x \right)\ne 0\) với mọi \(x\in R\). \(f'\left( x \right)=\left( 2x+1 \right){{f}^{2}}\left( x \right)\) và \(f\left( 1 \right)=-0.5\). Biết rằng tổng \(f\left( 1 \right)+f\left( 2 \right)+f\left( 3 \right)+...+f\left( 2017 \right)=\frac{a}{b};\,\,\left( a\in Z,b\in N \right)\) với \(\frac{a}{b}\) tối giản.Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. \(a\in \left( -2017;2017 \right)\)

B. \(b-a=4035\)

C. \(a+b=-1\)

D. \(\frac{a}{b}<-1\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:249330

Phương pháp giải

Chuyển vế, lấy nguyên hàm hai vế.

Giải chi tiết

\(\begin{array}{l}
\,\,\,\,\,f'\left( x \right) = \left( {2x + 1} \right){f^2}\left( x \right)\\
\Leftrightarrow \frac{{f'\left( x \right)}}{{{f^2}\left( x \right)}} = 2x + 1\\
\Leftrightarrow \int\limits_{}^{} {\frac{{f'\left( x \right)dx}}{{{f^2}\left( x \right)}}} = \int\limits_{}^{} {\left( {2x + 1} \right)dx} \\
\Leftrightarrow \frac{{ - 1}}{{f\left( x \right)}} = {x^2} + x + C\\
f\left( 1 \right) = - 0,5 \Leftrightarrow - \frac{1}{{ - 0,5}} = 1 + 1 + C \Leftrightarrow C = 0\\
\Leftrightarrow f\left( x \right) = - \frac{1}{{{x^2} + x}} = - \frac{1}{{x\left( {x + 1} \right)}} = - \left( {\frac{1}{x} - \frac{1}{{x + 1}}} \right) = \frac{1}{{x + 1}} - \frac{1}{x}\\
\Rightarrow f\left( 1 \right) + f\left( 2 \right) + f\left( 3 \right) + ... + f\left( {2017} \right)\\
= \frac{1}{2} - 1 + \frac{1}{3} - \frac{1}{2} + \frac{1}{4} - \frac{1}{3} + ... + \frac{1}{{2017}} - \frac{1}{{2016}} + \frac{1}{{2018}} - \frac{1}{{2017}}\\
= - 1 + \frac{1}{{2018}} = \frac{{ - 2017}}{{2018}} = \frac{a}{b} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a = - 2017\\
b = 2018
\end{array} \right. \Rightarrow b - a = 4035
\end{array}\)

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.