Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’. Trên A’B' kéo dài lấy điểm M sao cho \(B'M=\frac{1}{2}A'B'\). Gọi N, P lần lượt là trung điểm của A’C’ và B’B. Mặt phẳng (MNP) chia khối lăng trụ ABC.A’B’C’ thành hai khối đa diện trong đó khối đa diện chứa đỉnh A’ có thể tích \({{V}_{1}}\) và khối đa diện chứa đỉnh C’ có thể tích \({{V}_{2}}\). Tính \(\frac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}\).

Câu 249331: Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’. Trên A’B' kéo dài lấy điểm M sao cho \(B'M=\frac{1}{2}A'B'\). Gọi N, P lần lượt là trung điểm của A’C’ và B’B. Mặt phẳng (MNP) chia khối lăng trụ ABC.A’B’C’ thành hai khối đa diện trong đó khối đa diện chứa đỉnh A’ có thể tích \({{V}_{1}}\) và khối đa diện chứa đỉnh C’ có thể tích \({{V}_{2}}\). Tính \(\frac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}\).

A. \(\frac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}=\frac{97}{59}\)

B. \(\frac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}=\frac{49}{144}\)

C. \(\frac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}=\frac{95}{144}\)

D. \(\frac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}=\frac{49}{95}\)

Câu hỏi : 249331

Phương pháp giải:

Dựng thiết diện, xác định hai phần cần tính thể tích.

Sử dụng phân chia và lắp ghép các khối đa diện.

Đáp án : D
(1) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
Gọi \(E=MN\cap B'C'\)

Kéo dài MP cắt AB tại D, cắt AA ‘ tại F.

Nối NF, cắt AC tại G.

Do đó thiết diện của lăng trụ khi cắt bởi mặt phẳng (MNP) là NEPDG.

Gọi \({{V}_{1}}\) là thể tích khối đa diện chứa đỉnh A’ ta có :

\({{V}_{1}}={{V}_{F.A'MN}}-{{V}_{F.ADG}}-{{V}_{P.B'EM}}\)

Ta có :

\({{S}_{A'MN}}=\frac{1}{2}d\left( N;A'M \right).A'M=\frac{1}{2}.\frac{1}{2}d\left( C';A'B' \right).\frac{3}{2}A'B'=\frac{3}{4}{{S}_{A'B'C'}}\)

\(\Delta BDP=\Delta B'MP\Rightarrow BD=B'M=\frac{1}{2}AB\Rightarrow D\) là trung điểm của AB.

\(\Rightarrow \frac{FA}{FA'}=\frac{AD}{A'M}=\frac{1}{3}\Rightarrow \frac{FA'}{AA'}=\frac{3}{2}\)

\(\Rightarrow \frac{{{V}_{F.A'MN}}}{{{V}_{ABC.A'B'C'}}}=\frac{\frac{1}{3}.FA'.{{S}_{A'MN}}}{AA'.{{S}_{ABC}}}=\frac{1}{3}.\frac{3}{2}.\frac{3}{4}=\frac{3}{8}\Rightarrow {{V}_{F.A'MN}}=\frac{3}{8}{{V}_{ABC.A'B'C'}}=\frac{3V}{8}\)

Dễ dàng chứng minh được \(\Delta ADG\) đồng dạng \(\Delta A'MN\) theo tỉ số \(\frac{1}{3}\Rightarrow {{S}_{ADG}}=\frac{1}{9}{{S}_{A'MN}}=\frac{1}{12}{{S}_{A'B'C'}}\)

\(\Rightarrow \frac{{{V}_{F.ADG}}}{{{V}_{ABC.A'B'C'}}}=\frac{\frac{1}{3}.FA.{{S}_{ADG}}}{AA'.{{S}_{A'B'C'}}}=\frac{1}{3}.\frac{1}{2}.\frac{1}{12}=\frac{1}{72}\Rightarrow {{V}_{F.ADG}}=\frac{1}{72}{{V}_{ABC.A'B'C'}}=\frac{V}{72}\)

Áp dụng định lí Menelaus trong tam giác A’B’C’ ta có : \(\frac{MA'}{MB'}.\frac{EB'}{EC'}.\frac{NC'}{NA'}=1\Leftrightarrow \frac{3}{2}.\frac{EB'}{EC'}.1=1\Leftrightarrow \frac{EB'}{EC'}=\frac{2}{3}\)

Áp dụng định lí Menelaus trong tam giác A’MN ta có :

\(\frac{CN}{CA}.\frac{BA}{BM}.\frac{EM}{EN}=1\Leftrightarrow \frac{1}{2}.2.\frac{EM}{EN}=1\Leftrightarrow \frac{EM}{EN}\Rightarrow \frac{ME}{MN}=\frac{1}{2}\)

\(\Rightarrow \frac{{{S}_{B'EM}}}{{{S}_{A'NM}}}=\frac{MB'}{MA'}.\frac{ME}{MN}=\frac{1}{3}.\frac{1}{2}=\frac{1}{6}\Rightarrow {{S}_{B'EM}}=\frac{1}{6}{{S}_{A'NM}}=\frac{1}{8}{{S}_{A'B'C'}}\)

\(\Rightarrow \frac{{{V}_{P.B'EM}}}{{{V}_{ABC.A'B'C'}}}=\frac{\frac{1}{3}.PB'.{{S}_{B'EM}}}{BB'.{{S}_{A'B'C'}}}=\frac{1}{3}.\frac{1}{2}.\frac{1}{8}=\frac{1}{48}\Rightarrow {{V}_{P.B'EM}}=\frac{1}{48V}\)

Vậy \({{V}_{1}}=\frac{49}{144}V\Rightarrow {{V}_{2}}=\frac{95}{144}V\Rightarrow \frac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}=\frac{49}{95}\)

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.