Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’. Trên A’B' kéo dài lấy điểm M sao cho

Câu hỏi số 249331:

Vận dụng

Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’. Trên A’B' kéo dài lấy điểm M sao cho \(B'M=\frac{1}{2}A'B'\). Gọi N, P lần lượt là trung điểm của A’C’ và B’B. Mặt phẳng (MNP) chia khối lăng trụ ABC.A’B’C’ thành hai khối đa diện trong đó khối đa diện chứa đỉnh A’ có thể tích \({{V}_{1}}\) và khối đa diện chứa đỉnh C’ có thể tích \({{V}_{2}}\). Tính \(\frac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}\).

A. \(\frac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}=\frac{97}{59}\)

B. \(\frac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}=\frac{49}{144}\)

C. \(\frac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}=\frac{95}{144}\)

D. \(\frac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}=\frac{49}{95}\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:249331

Phương pháp giải

Dựng thiết diện, xác định hai phần cần tính thể tích.

Sử dụng phân chia và lắp ghép các khối đa diện.

Giải chi tiết

Gọi \(E=MN\cap B'C'\)

Kéo dài MP cắt AB tại D, cắt AA ‘ tại F.

Nối NF, cắt AC tại G.

Do đó thiết diện của lăng trụ khi cắt bởi mặt phẳng (MNP) là NEPDG.

Gọi \({{V}_{1}}\) là thể tích khối đa diện chứa đỉnh A’ ta có :

\({{V}_{1}}={{V}_{F.A'MN}}-{{V}_{F.ADG}}-{{V}_{P.B'EM}}\)

Ta có :

\({{S}_{A'MN}}=\frac{1}{2}d\left( N;A'M \right).A'M=\frac{1}{2}.\frac{1}{2}d\left( C';A'B' \right).\frac{3}{2}A'B'=\frac{3}{4}{{S}_{A'B'C'}}\)

\(\Delta BDP=\Delta B'MP\Rightarrow BD=B'M=\frac{1}{2}AB\Rightarrow D\) là trung điểm của AB.

\(\Rightarrow \frac{FA}{FA'}=\frac{AD}{A'M}=\frac{1}{3}\Rightarrow \frac{FA'}{AA'}=\frac{3}{2}\)

\(\Rightarrow \frac{{{V}_{F.A'MN}}}{{{V}_{ABC.A'B'C'}}}=\frac{\frac{1}{3}.FA'.{{S}_{A'MN}}}{AA'.{{S}_{ABC}}}=\frac{1}{3}.\frac{3}{2}.\frac{3}{4}=\frac{3}{8}\Rightarrow {{V}_{F.A'MN}}=\frac{3}{8}{{V}_{ABC.A'B'C'}}=\frac{3V}{8}\)

Dễ dàng chứng minh được \(\Delta ADG\) đồng dạng \(\Delta A'MN\) theo tỉ số \(\frac{1}{3}\Rightarrow {{S}_{ADG}}=\frac{1}{9}{{S}_{A'MN}}=\frac{1}{12}{{S}_{A'B'C'}}\)

\(\Rightarrow \frac{{{V}_{F.ADG}}}{{{V}_{ABC.A'B'C'}}}=\frac{\frac{1}{3}.FA.{{S}_{ADG}}}{AA'.{{S}_{A'B'C'}}}=\frac{1}{3}.\frac{1}{2}.\frac{1}{12}=\frac{1}{72}\Rightarrow {{V}_{F.ADG}}=\frac{1}{72}{{V}_{ABC.A'B'C'}}=\frac{V}{72}\)

Áp dụng định lí Menelaus trong tam giác A’B’C’ ta có : \(\frac{MA'}{MB'}.\frac{EB'}{EC'}.\frac{NC'}{NA'}=1\Leftrightarrow \frac{3}{2}.\frac{EB'}{EC'}.1=1\Leftrightarrow \frac{EB'}{EC'}=\frac{2}{3}\)

Áp dụng định lí Menelaus trong tam giác A’MN ta có :

\(\frac{CN}{CA}.\frac{BA}{BM}.\frac{EM}{EN}=1\Leftrightarrow \frac{1}{2}.2.\frac{EM}{EN}=1\Leftrightarrow \frac{EM}{EN}\Rightarrow \frac{ME}{MN}=\frac{1}{2}\)

\(\Rightarrow \frac{{{S}_{B'EM}}}{{{S}_{A'NM}}}=\frac{MB'}{MA'}.\frac{ME}{MN}=\frac{1}{3}.\frac{1}{2}=\frac{1}{6}\Rightarrow {{S}_{B'EM}}=\frac{1}{6}{{S}_{A'NM}}=\frac{1}{8}{{S}_{A'B'C'}}\)

\(\Rightarrow \frac{{{V}_{P.B'EM}}}{{{V}_{ABC.A'B'C'}}}=\frac{\frac{1}{3}.PB'.{{S}_{B'EM}}}{BB'.{{S}_{A'B'C'}}}=\frac{1}{3}.\frac{1}{2}.\frac{1}{8}=\frac{1}{48}\Rightarrow {{V}_{P.B'EM}}=\frac{1}{48V}\)

Vậy \({{V}_{1}}=\frac{49}{144}V\Rightarrow {{V}_{2}}=\frac{95}{144}V\Rightarrow \frac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}=\frac{49}{95}\)

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.