Cho tích phân \(\int\limits_{0}^{\sqrt{7}}{\frac{{{x}^{3}}\,\text{d}x}{\sqrt[3]{1+{{x}^{2}}}}}=\frac{m}{n},\) với

Câu hỏi số 250371:

Thông hiểu

Cho tích phân \(\int\limits_{0}^{\sqrt{7}}{\frac{{{x}^{3}}\,\text{d}x}{\sqrt[3]{1+{{x}^{2}}}}}=\frac{m}{n},\) với \(\frac{m}{n}\) là một phân số tối giản. Tính \(m-7n.\)

D. 91.

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:250371

Phương pháp giải

Đặt ẩn phụ \(t=\sqrt[3]{1+{{x}^{2}}}\) , đưa về tích phân hàm đa thức.

Giải chi tiết

Đặt \(t=\sqrt[3]{1+{{x}^{2}}}\Leftrightarrow {{t}^{3}}=1+{{x}^{2}}\Leftrightarrow 2x\,\text{d}x=3{{t}^{2}}\,\text{d}t\Leftrightarrow x\,\text{d}x=\frac{3{{t}^{2}}}{2}\,\text{d}t\) và \(\left\{\begin{align} x=0\,\,\Rightarrow \,\,t=1 \\ x=\sqrt{7}\,\,\Rightarrow \,\,t=2 \\ \end{align} \right..\)

Khi đó \(\int\limits_{0}^{\sqrt{7}}{\frac{{{x}^{3}}\,\text{d}x}{\sqrt[3]{1+{{x}^{2}}}}}=\int\limits_{0}^{\sqrt{7}}{\frac{{{x}^{2}}}{\sqrt[3]{1+{{x}^{2}}}}.x\,\text{d}x}=\int\limits_{1}^{2}{\frac{{{t}^{3}}-1}{t}.\frac{3{{t}^{2}}}{2}\,\text{d}t}=\frac{3}{2}\,\int\limits_{1}^{2}{\left( {{t}^{4}}-t \right)\,\text{d}t}=\frac{141}{20}.\)

Vậy \(\int\limits_{0}^{\sqrt{7}}{\frac{{{x}^{3}}\,\text{d}x}{\sqrt[3]{1+{{x}^{2}}}}}=\frac{m}{n}\Rightarrow\left\{ \begin{align} m=141 \\ n=20 \\ \end{align} \right.\,\,\xrightarrow{{}}\,\,m-7n=141-7.20=1.\)

Chọn B

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.