Cho hình trụ \(ABC.{A}'{B}'{C}'\) có đáy là tam giác đều cạnh \(a.\) Hình chiếu vuông góc của

Câu hỏi số 250388:

Vận dụng

Cho hình trụ \(ABC.{A}'{B}'{C}'\) có đáy là tam giác đều cạnh \(a.\) Hình chiếu vuông góc của điểm \({A}'\) lên mặt phẳng \(\left( ABC \right)\) trùng với trọng tâm tam giác \(ABC.\) Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng \(A{A}'\) và \(BC\) bằng \(\frac{a\sqrt{3}}{4}.\) Tính thể tích \(V\) của khối lăng trụ \(ABC.{A}'{B}'{C}'.\)

\(V=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{24}.\)

\(V=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{12}.\)

\(V=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{3}.\)

D. \(V=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{6}.\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:250388

Phương pháp giải

Dựng hình, xác định khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau để tính chiều cao lăng trụ

Giải chi tiết

Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC.\) Ta có \(\left\{ \begin{align} {A}'G\bot BC \\ AM\bot BC \\\end{align} \right.\Rightarrow \,\,BC\bot \left( {A}'AM \right).\)

Kẻ \(MH\bot A{A}'\,\,\,\,\left( H\in A{A}' \right)\)\(\Rightarrow \)\(MH\) là đoạn vuông góc chung của \(BC,\,\,A{A}'.\)

\(\Rightarrow d\left( BC;AA' \right)=MH=\frac{a\sqrt{3}}{4}\)

Mà \(d=d\left( G;\left( A{A}' \right) \right)=\frac{2}{3}d\left( M;\left( A{A}' \right) \right)=\frac{2}{3}MH=\frac{a\sqrt{3}}{6}.\)

Xét tam giác vuông AA’G có : \(\frac{1}{A{{G}^{2}}}+\frac{1}{{A}'{{G}^{2}}}=\frac{1}{{{d}^{2}}}\Rightarrow {A}'G=\frac{a}{3}.\)

Vậy thể tích cần tính là

\({{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}'}}={A}'G\,\,\times \,\,{{S}_{\Delta \,ABC}}=\frac{a}{3}.\frac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{12}.\)

Chọn B.

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.