Cho \(f\left( x \right)\) là hàm số liên tục trên \(\mathbb{R}\) và thỏa mãn điều kiện

Câu hỏi số 250391:

Vận dụng

Cho \(f\left( x \right)\) là hàm số liên tục trên \(\mathbb{R}\) và thỏa mãn điều kiện \(\int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)\,\text{d}x}=4,\,\,\int\limits_{0}^{3}{f\left( x \right)\,\text{d}x}=6.\) Tính \(I=\int\limits_{-\,1}^{1}{f\left( \left| 2x+1 \right| \right)\,\text{d}x}.\)

\(I=6.\)

\(I=3.\)

\(I=4.\)

D. \(I=5.\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:250391

Phương pháp giải

Chia trường hợp để phá trị tuyệt đối, sử dụng đổi biến số để đưa về tích phân đề bài cho

Giải chi tiết

Ta có \(I=\int\limits_{-\,1}^{1}{f\left( \left| 2x+1 \right| \right)\,\text{d}x}=\int\limits_{-\,1}^{-\,\frac{1}{2}}{f\left( \left| 2x+1 \right| \right)\,\text{d}x}+\int\limits_{-\,\frac{1}{2}}^{1}{f\left( \left| 2x+1 \right| \right)\,\text{d}x}=\underbrace{\int\limits_{-\,1}^{-\,\frac{1}{2}}{f\left( -\,2x-1 \right)\,\text{d}x}}_{{{I}_{1}}}+\underbrace{\int\limits_{-\,\frac{1}{2}}^{1}{f\left( 2x+1 \right)\,\text{d}x}}_{{{I}_{2}}}.\)

\(\bullet \) Đặt \(t=-\,2x-1\Leftrightarrow \text{d}x=-\,\frac{\text{d}t}{2}\) và \(\left\{ \begin{align} x=-\,1\Rightarrow t=1 \\ x=-\frac{1}{2}\Rightarrow t=0 \\ \end{align} \right..\) Khi đó \({{I}_{1}}=-\frac{1}{2}\int\limits_{1}^{0}{f\left( t \right)\,\text{d}t}=\frac{1}{2}\int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)\,\text{d}x}=2.\)

\(\bullet \) Đặt \(t=2x+1\Leftrightarrow \text{d}x=\frac{\text{d}t}{2}\) và \(\left\{ \begin{align} x=-\,\frac{1}{2}\Rightarrow t=0 \\ x=1\Rightarrow t=3 \\\end{align} \right..\) Khi đó \({{I}_{2}}=\frac{1}{2}\int\limits_{0}^{3}{f\left( t \right)\,\text{d}t}=\frac{1}{2}\int\limits_{0}^{3}{f\left( x \right)\,\text{d}x}=3.\)

Vậy \(I=\int\limits_{-\,1}^{1}{f\left( \left| 2x+1 \right| \right)\,\text{d}x}={{I}_{1}}+{{I}_{2}}=2+3=5.\)

Chọn D

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.