Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y=\left| \sin x+\cos x+\tan x+\cot x+\frac{1}{\sin x}+\frac{1}{\cos x}

Câu hỏi số 251955:

Vận dụng cao

Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y=\left| \sin x+\cos x+\tan x+\cot x+\frac{1}{\sin x}+\frac{1}{\cos x} \right|\)

\(2\sqrt{2}-1\)

\(\sqrt{2}+1\)

\(2\sqrt{2}+1\)

D. \(\sqrt{2}-1\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:251955

Phương pháp giải

Đặt \(\sin x=a,\,\,\cos x=b\)

Giải chi tiết

Đặt ta có \({{a}^{2}}+{{b}^{2}}=1\).

Khi đó \(y=\left| a+b+\frac{a}{b}+\frac{b}{a}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b} \right|=\left| \frac{ab\left( a+b \right)+{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+a+b}{ab} \right|=\left| \frac{ab\left( a+b \right)+a+b+1}{ab} \right|\)

Đặt \(t=a+b\in \left[ -\sqrt{2};\sqrt{2} \right]\Rightarrow {{t}^{2}}={{a}^{2}}+{{b}^{2}}+2ab=1+2ab\Rightarrow ab=\frac{{{t}^{2}}-1}{2}\) , khi đó ta có :

\(y=\left| t+\frac{2\left( t+1 \right)}{{{t}^{2}}-1} \right|=\left| t+\frac{2}{t-1} \right|=\left| t-1+\frac{2}{t-1}+1 \right|\)

Nếu \(t-1>0\Rightarrow t-1+\frac{2}{t-1}+1\ge 2\sqrt{2}+1\Rightarrow y\ge 2\sqrt{2}+1\)

Nếu \(t-1<0\Rightarrow \frac{1}{1-t}+1-t\ge 2\sqrt{2}\Rightarrow \frac{1}{t-1}+t-1\le -2\sqrt{2}\Rightarrow \frac{1}{t-1}+t-1+1\le 1-2\sqrt{2}\Rightarrow y\ge 2\sqrt{2}-1\)

Vậy \(y\ge 2\sqrt{2}-1\)

Dấu bằng xảy ra \(\Leftrightarrow {{\left( 1-t \right)}^{2}}=2\Leftrightarrow t=1-\sqrt{2}\,\,\left( t<0 \right)\)

\(\Rightarrow \sin x+\cos x=1-\sqrt{2}\Leftrightarrow \sqrt{2}\sin \left( x+\frac{\pi }{4} \right)=1-\sqrt{2}\Leftrightarrow \sin \left( x+\frac{\pi }{4} \right)=\frac{1-\sqrt{2}}{2}\)

Chọn A.

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.