Biết diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y=\sin x,\,\,y=\cos x,\,\,x=0,\,\,x=a\) (với

Câu hỏi số 251970:

Vận dụng

Biết diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y=\sin x,\,\,y=\cos x,\,\,x=0,\,\,x=a\) (với \(a\in \left[ \frac{\pi }{4};\frac{\pi }{2} \right]\) là \(\frac{1}{2}\left( -3+4\sqrt{2}-\sqrt{3} \right)\). Hỏi số a thuộc khoảng nào sau đây?

\(\left( \frac{11}{10};\frac{3}{2} \right)\)

\(\left( \frac{51}{50};\frac{11}{10} \right)\)

\(\left( \frac{7}{10};1 \right)\)

D. \(\left( 1;\frac{51}{50} \right)\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:251970

Phương pháp giải

Sử dụng công thức ứng dụng của tích phân để tính diện tích hình phẳng.

Giải chi tiết

Xét phương trình hoành độ giao điểm \(\sin x=\cos x\Leftrightarrow \tan x=1\Leftrightarrow x=\frac{\pi }{4}+k\pi \) .

TH1: \(a=\frac{\pi }{4}\Rightarrow S=\left| \int\limits_{0}^{\frac{\pi }{4}}{\left( \sin x-\cos x \right)dx} \right|=\sqrt{2}-1\Rightarrow \) không thỏa mãn.

TH2: \(a=\frac{\pi }{2}\Rightarrow S=\left| \int\limits_{0}^{\frac{\pi }{4}}{\left( \sin x-\cos x \right)dx} \right|+\left| \int\limits_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}}{\left( \sin x-\cos x \right)} \right|=\sqrt{2}-1+\sqrt{2}-1=2\sqrt{2}-2\Rightarrow \) không thỏa mãn.

TH3: \(a\in \left( \frac{\pi }{4};\frac{\pi }{2} \right)\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow S = \left| {\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\left( {\sin x - \cos x} \right)dx} } \right| + \left| {\int\limits_{\frac{\pi }{4}}^a {\left( {\sin x - \cos x} \right)} } \right| = \sqrt 2 - 1 + \left| {\left. {\left( { - \cos x - \sin x} \right)} \right|_{\frac{\pi }{4}}^a} \right|\\ \Rightarrow S = \sqrt 2 - 1 + \left| { - \cos x - \sin a + \frac{{\sqrt 2 }}{2} + \frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right| = \frac{1}{2}\left( { - 3 + 4\sqrt 2 - \sqrt 3 } \right)\\ \Leftrightarrow \left| { - \cos a - \sin a + \sqrt 2 } \right| = - \frac{1}{2} + \sqrt 2 - \frac{{\sqrt 3 }}{2}\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} - \cos a - \sin a + \sqrt 2 = - \frac{1}{2} + \sqrt 2 - \frac{{\sqrt 3 }}{2}\\ - \cos a - \sin a + \sqrt 2 = \frac{1}{2} - \sqrt 2 + \frac{{\sqrt 3 }}{2}\end{array} \right.\end{array}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos a + \sin a = \frac{1}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}\\\cos a + \sin a = - \frac{1}{2} - \frac{{\sqrt 3 }}{2} + 2\sqrt 2 \left( {ktm} \right)\left( {\left( {\sin a + \cos a} \right) \in \left[ { - \sqrt 2 ;\sqrt 2 } \right]} \right)\end{array} \right.\\ \Rightarrow a = \frac{\pi }{3}\left( {a \in \left[ {\frac{\pi }{4};\frac{\pi }{2}} \right]} \right) \approx 1,04 \in \left( {\frac{{51}}{{50}};\frac{{11}}{{10}}} \right)\end{array}\)

Chọn B.

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.