Biết rằng đồ thị hàm số bậc 4: \(y=f\left( x \right)\) được cho như hình vẽ sau: Tìm số

Câu hỏi số 251975:

Vận dụng cao

Biết rằng đồ thị hàm số bậc 4: \(y=f\left( x \right)\) được cho như hình vẽ sau:

Tìm số giao điểm của đồ thị hàm số \(y=g\left( x \right)={{\left[ f'\left( x \right) \right]}^{2}}-f\left( x \right).f''\left( x \right)\) và trục Ox.

A. 0

B. 2

C. 4

D. 6

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:251975

Phương pháp giải

Đặt \(f\left( x \right)=a\left( x-{{x}_{1}} \right)\left( x-{{x}_{2}} \right)\left( x-{{x}_{3}} \right)\left( x-{{x}_{4}} \right)\), tính đạo hàm của hàm số \(y=f\left( x \right)\)

Xét hàm số \(h\left( x \right)=\frac{f'\left( x \right)}{f\left( x \right)}\) và chứng minh \(f''\left( x \right).f\left( x \right)-{{\left[ f'\left( x \right) \right]}^{2}}<0\,\,\forall x\notin \left\{ {{x}_{1}};{{x}_{2}};{{x}_{3}};{{x}_{4}} \right\}\) .

Giải chi tiết

Đồ thị hàm số \(y=f\left( x \right)\) cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt nên \(f\left( x \right)=a\left( x-{{x}_{1}} \right)\left( x-{{x}_{2}} \right)\left( x-{{x}_{3}} \right)\left( x-{{x}_{4}} \right)\)

\(\begin{align} \Rightarrow f'\left( x \right)=a\left( x-{{x}_{2}} \right)\left( x-{{x}_{3}} \right)\left( x-{{x}_{4}} \right)+a\left( x-{{x}_{1}} \right)\left( x-{{x}_{3}} \right)\left( x-{{x}_{4}} \right) \\ \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,+a\left( x-{{x}_{1}} \right)\left( x-{{x}_{2}} \right)\left( x-{{x}_{4}} \right)+a\left( x-{{x}_{1}} \right)\left( x-{{x}_{2}} \right)\left( x-{{x}_{3}} \right) \\ f'\left( x \right)=f\left( x \right)\left( \frac{1}{x-{{x}_{1}}}+\frac{1}{x-{{x}_{2}}}+\frac{1}{x-{{x}_{3}}}+\frac{1}{x-{{x}_{4}}} \right)\,\,\,\forall x\notin \left\{ {{x}_{1}};{{x}_{2}};{{x}_{3}};{{x}_{4}} \right\}\Rightarrow f'\left( x \right)\ne 0\,\,\forall x\notin \left\{ {{x}_{1}};{{x}_{2}};{{x}_{3}};{{x}_{4}} \right\} \\ \end{align}\)

Đặt \(h\left( x \right)=\frac{f'\left( x \right)}{f\left( x \right)}=\frac{1}{x-{{x}_{1}}}+\frac{1}{x-{{x}_{2}}}+\frac{1}{x-{{x}_{3}}}+\frac{1}{x-{{x}_{4}}}\,\,\forall x\notin \left\{ {{x}_{1}};{{x}_{2}};{{x}_{3}};{{x}_{4}} \right\}\)

Ta có \(h'\left( x \right)=\frac{f''\left( x \right).f\left( x \right)-{{\left[ f'\left( x \right) \right]}^{2}}}{{{f}^{2}}\left( x \right)}=\frac{-1}{{{\left( x-{{x}_{1}} \right)}^{2}}}+\frac{-1}{{{\left( x-{{x}_{2}} \right)}^{2}}}+\frac{-1}{{{\left( x-{{x}_{3}} \right)}^{2}}}+\frac{-1}{{{\left( x-{{x}_{4}} \right)}^{2}}}<0\,\,\forall x\notin \left\{ {{x}_{1}};{{x}_{2}};{{x}_{3}};{{x}_{4}} \right\}\)

\(\begin{align} \Rightarrow f''\left( x \right).f\left( x \right)-{{\left[ f'\left( x \right) \right]}^{2}}<0\,\,\forall x\notin \left\{ {{x}_{1}};{{x}_{2}};{{x}_{3}};{{x}_{4}} \right\} \\ \Rightarrow g\left( x \right)={{\left[ f'\left( x \right) \right]}^{2}}-f''\left( x \right).f\left( x \right)>0\,\,\forall x\notin \left\{ {{x}_{1}};{{x}_{2}};{{x}_{3}};{{x}_{4}} \right\} \\ \end{align}\)

Khi \(f\left( x \right)=0\Rightarrow f'\left( x \right)\ne 0\Rightarrow g\left( x \right)={{\left[ f'\left( x \right) \right]}^{2}}-f''\left( x \right).f\left( x \right)\ne 0\)

Vậy đồ thị hàm số \(y=g\left( x \right)={{\left[ f'\left( x \right) \right]}^{2}}-f\left( x \right).f''\left( x \right)\) không cắt trục Ox.

Chọn A.

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.