Biết \(I=\int\limits_{0}^{1}{\frac{x}{\sqrt{3x+1}+\sqrt{2x+1}}\,\text{d}x}=\frac{a+b\sqrt{3}}{9},\) với

Câu hỏi số 252872:

Thông hiểu

Biết \(I=\int\limits_{0}^{1}{\frac{x}{\sqrt{3x+1}+\sqrt{2x+1}}\,\text{d}x}=\frac{a+b\sqrt{3}}{9},\) với \(a,\,\,b\) là các số thực. Tính tổng \(T=a+b.\)

A. \(T=-\,10.\)

B. \(T=-\,4.\)

C. \(T=15.\)

D. \(T=8.\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:252872

Phương pháp giải

Nhân liên hợp với biểu thức mẫu số, đưa về tính tích phân cơ bản

Giải chi tiết

Ta có \(I=\int\limits_{0}^{1}{\frac{x}{\sqrt{3x+1}+\sqrt{2x+1}}\,\text{d}x}=\int\limits_{0}^{1}{\frac{x\left( \sqrt{3x+1}+\sqrt{2x+1} \right)}{{{\left( \sqrt{3x+1} \right)}^{2}}-{{\left( \sqrt{2x+1} \right)}^{2}}}\,\text{d}x}\)

\(\begin{array}{l}
= \int\limits_0^1 {\frac{{x\left( {\sqrt {3x + 1} - \sqrt {2x + 1} } \right)}}{{3x + 1 - 2x - 1}}} = \int\limits_0^1 {\left( {\sqrt {3x + 1} - \sqrt {2x + 1} } \right){\rm{d}}x} .\\
= \left. {\left( {\frac{1}{3}.\frac{{\sqrt {{{\left( {3x + 1} \right)}^3}} }}{{\frac{3}{2}}} - \frac{1}{2}.\frac{{\sqrt {{{\left( {2x + 1} \right)}^3}} }}{{\frac{3}{2}}}} \right)} \right|_0^1 = \left. {\left( {\frac{2}{9}.\sqrt {{{\left( {3x + 1} \right)}^3}} - \frac{1}{3}.\sqrt {{{\left( {2x + 1} \right)}^3}} } \right)} \right|_0^1\\
= \left. {\frac{1}{9}\left[ {2\sqrt {{{\left( {3x + 1} \right)}^3}} - 3\sqrt {{{\left( {2x + 1} \right)}^3}} } \right]} \right|_0^1 = \frac{1}{9}\left( {16 - 9\sqrt 3 + 1} \right) = \frac{{17 - 9\sqrt 3 }}{9} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a = 17\\
b = - \,9
\end{array} \right..
\end{array}\)

Vậy \(T=a+b=17-9=8.\)

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.