Cho mặt cầu \(\left( S \right)\) bán kính \(R=5\,\,cm.\) Mặt phẳng \(\left( P \right)\) cắt mặt cầu
Cho mặt cầu \(\left( S \right)\) bán kính \(R=5\,\,cm.\) Mặt phẳng \(\left( P \right)\) cắt mặt cầu \(\left( S \right)\) theo giao tuyến là đường tròn \(\left( C \right)\) có chu vi bằng \(8\pi \,\,cm.\) Bốn điểm \(A,\,\,B,\,\,C,\,\,D\) thay đổi sao cho \(A,\,\,B,\,\,C\) thuộc đường tròn \(\left( C \right),\) điểm \(D\) thuộc \(\left( S \right)\) (không thuộc đường tròn \(\left( C \right)\)) và tam giác \(ABC\) là tam giác đều. Tính thể tích lớn nhất của tứ diện \(ABCD.\)
Đáp án đúng là: A
Quảng cáo
Dựng hình, xác định vị trí điểm để thể tích lớn nhất
Gọi \(E\) là tâm đường tròn \(\left( C \right)\)\(\Rightarrow \)
Bán kính của \(\left( C \right)\) là \(r=\frac{C}{2\pi }=4\)
Mà \(\left( C \right)\) là đường tròn ngoại tiếp \(\Delta \,ABC\)\(\Rightarrow \,\,AB=\frac{3r}{\sqrt{3}}=4\sqrt{3}\Rightarrow \,\,{{S}_{\Delta \,ABC}}=\frac{A{{B}^{2}}\sqrt{3}}{4}=12\sqrt{3}.\)
Để \({{V}_{ABCD}}\) lớn nhất \(\Leftrightarrow \) \(E\) là hình chiếu của \(D\) trên \(mp\,\,\left( ABCD \right),\) tức là \(IE\cap \left( S \right)=D.\)
Với \(I\) là tâm mặt cầu \(\left( S \right)\)\(\Rightarrow \,\,DE=R+IE=R+\sqrt{{{R}^{2}}-{{r}^{2}}}=5+\sqrt{{{5}^{2}}-{{4}^{2}}}=8.\)
Vậy thể tích cần tính là \({{V}_{ABCD}}=\frac{1}{3}.DE.{{S}_{\Delta \,ABC}}=\frac{8}{3}.12\sqrt{3}=32\sqrt{3}\,\,c{{m}^{3}}.\)
Đáp án cần chọn là: A
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
