Gọi \(S=\left( a;b \right)\) là tập tất cả các giá trị của tham số thực \(m\) để phương trình

Câu hỏi số 252877:

Vận dụng

Gọi \(S=\left( a;b \right)\) là tập tất cả các giá trị của tham số thực \(m\) để phương trình \({{\log }_{2}}\left( mx-6{{x}^{3}} \right)+{{\log }_{\frac{1}{2}}}\left( -\,14{{x}^{2}}+29x-2 \right)=0\) có 3 nghiệm phân biệt. Khi đó hiệu \(H=b-a\) bằng

A. \(\frac{5}{2}.\)

B. \(\frac{1}{2}.\)

C. \(\frac{2}{3}.\)

D. \(\frac{5}{3}.\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:252877

Phương pháp giải

Đưa về phương trình đa thức chứa tham số, cô lập tham số, khảo sát hàm để biện luận nghiệm

Giải chi tiết

Điều kiện: \(\left\{ \begin{align} & mx-6{{x}^{3}}>0 \\ & -14{{x}^{2}}+29x-2>0 \\ \end{align} \right..\)

Phương trình \(\Leftrightarrow \,\,{{\log }_{2}}\left( mx-6{{x}^{3}} \right)={{\log }_{2}}\left( -\,14{{x}^{2}}+29x-2 \right)\)

\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \,\,\left\{ \begin{array}{l}
- \,14{x^2} + 29x - 2 > 0\\
mx - 6{x^3} = - \,14{x^2} + 29x - 2
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
14{x^2} - 29x + 2 < 0\\
mx = 6{x^3} - 14{x^2} + 29x - 2
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\frac{1}{{14}} < x < 2\\
m = 6{x^2} - 14x + 29 - \frac{2}{x}\,\,\,\,\,\,\,\left( * \right)\;\;\;\;\left( {do\;\;x > 0} \right)
\end{array} \right..
\end{array}\)

Phương trình đã cho có ba nghiệm phân biệt \(\Leftrightarrow \,\,\left( * \right)\) có ba nghiệm phân biệt \(x\in \left( \frac{1}{14};2 \right)\).

Xét hàm số \(f\left( x \right)=6{{x}^{2}}-14x+29-\frac{2}{x}\) trên khoảng \(\left( \frac{1}{14};2 \right)\).

Ta có \({f}'\left( x \right)=12x-14+\frac{2}{{{x}^{2}}}=\frac{12{{x}^{3}}-14{{x}^{2}}+2}{{{x}^{2}}}\Rightarrow {f}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=1 \\ & x=\frac{1}{2} \\ \end{align} \right.\ \ \ \left( do\ \ \ \frac{1}{14}<x<2 \right).\)

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên, để phương trình \(\left( * \right)\) có ba nghiệm phân biệt khi \(19<m<\frac{39}{2}\).

Vậy \(m\in \left( 19;\frac{39}{2} \right)=\left( a;b \right)\Rightarrow \,\,a=19;\,\,b=\frac{39}{2}.\)

Vậy \(b-a=\frac{39}{2}-19=\frac{1}{2}.\)

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.