Cho \(\int\limits_{\frac{1}{3}}^{1}{\frac{x}{3x+\sqrt{9{{x}^{2}}-1}}dx=a+b\sqrt{2},\,\,\,(a,b\in Q)}\). Khi đó giá

Câu hỏi số 254977:

Vận dụng

Cho \(\int\limits_{\frac{1}{3}}^{1}{\frac{x}{3x+\sqrt{9{{x}^{2}}-1}}dx=a+b\sqrt{2},\,\,\,(a,b\in Q)}\). Khi đó giá trị của a là

\(\frac{26}{27}\).

\(-\frac{26}{27}\).

\(-\frac{27}{26}\).

D. \(\frac{27}{26}\).

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:254977

Phương pháp giải

Trục căn thức ở mẫu.

Giải chi tiết

\(\begin{align} I=\int\limits_{\frac{1}{3}}^{1}{\frac{x}{3x+\sqrt{9{{x}^{2}}-1}}dx=}\int\limits_{\frac{1}{3}}^{1}{\frac{x\left( 3x-\sqrt{9{{x}^{2}}-1} \right)}{\left( 3x+\sqrt{9{{x}^{2}}-1} \right)\left( 3x-\sqrt{9{{x}^{2}}-1} \right)}dx=}\int\limits_{\frac{1}{3}}^{1}{\frac{x\left( 3x-\sqrt{9{{x}^{2}}-1} \right)}{1}dx=}\int\limits_{\frac{1}{3}}^{1}{\left( 3{{x}^{2}}-x\sqrt{9{{x}^{2}}-1} \right)dx} \\ =3\int\limits_{\frac{1}{3}}^{1}{{{x}^{2}}dx}-\int\limits_{\frac{1}{3}}^{1}{x\sqrt{9{{x}^{2}}-1}dx} \\ \end{align}\)

Tính \({{I}_{1}}=3\int\limits_{\frac{1}{3}}^{1}{{{x}^{2}}dx}=\left. {{x}^{3}} \right|_{\frac{1}{3}}^{1}=1-\frac{1}{27}=\frac{26}{27}\)

Tính \({{I}_{2}}=\int\limits_{\frac{1}{3}}^{1}{x\sqrt{9{{x}^{2}}-1}dx}=\frac{1}{18}\int\limits_{\frac{1}{3}}^{1}{\sqrt{9{{x}^{2}}-1}d\left( 9{{x}^{2}}-1 \right)}=\frac{1}{27}.\left. \left( 9{{x}^{2}}-1 \right)\sqrt{9{{x}^{2}}-1} \right|_{\frac{1}{3}}^{1}=\frac{1}{27}\left( 16\sqrt{2}-0 \right)=\frac{16\sqrt{2}}{27}\)

\(I={{I}_{1}}-{{I}_{2}}=\frac{26}{27}-\frac{16\sqrt{2}}{27}=a+b\sqrt{2},\,\,\,(a,b\in Q)\Rightarrow a=\frac{26}{27},\,\,b=-\frac{16}{27}\)

Chọn: A

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.