Với n là số nguyên dương thỏa mãn \(C_{n}^{1}+C_{n}^{3}=13n\), hệ số của số hạng chứa

Câu hỏi số 254976:

Vận dụng

Với n là số nguyên dương thỏa mãn \(C_{n}^{1}+C_{n}^{3}=13n\), hệ số của số hạng chứa \({{x}^{5}}\)trong khai triển của biểu thức \({{\left( {{x}^{2}}+\frac{1}{{{x}^{3}}} \right)}^{n}}\) bằng

120.

45.

252.

D. 210.

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:254976

Phương pháp giải

Công thức số tổ hợp chập k của n phần tử: \(C_{n}^{k}=\frac{n!}{(n-k)!k!}\)

Công thức khai triển nhị thức Newton: \({{(x+y)}^{n}}=\sum\limits_{i=0}^{n}{C_{n}^{i}{{x}^{i}}.{{y}^{n-i}}}\) .

Giải chi tiết

\(\begin{array}{l}C_n^1 + C_n^3 = 13n\left( {n \ge 3} \right) \Leftrightarrow n + \frac{{n!}}{{(n - 3)!.3!}} = 13n \Leftrightarrow n + \frac{{n(n - 1)(n - 2)}}{6} - 13n = 0\\ \Leftrightarrow 6n + {n^3} - 3{n^2} + 2n - 78n = 0 \Leftrightarrow {n^3} - 3{n^2} - 70n = 0 \Leftrightarrow n({n^2} - 3n - 70) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}n = 0(L)\\n = 10\\n = - 7(L)\end{array} \right. \Rightarrow n = 10\end{array}\)

Khi đó: \({{\left( {{x}^{2}}+\frac{1}{{{x}^{3}}} \right)}^{n}}={{\left( {{x}^{2}}+\frac{1}{{{x}^{3}}} \right)}^{10}}=\sum\limits_{i=0}^{10}{C_{10}^{i}{{\left( {{x}^{2}} \right)}^{i}}.{{\left( {{x}^{-3}} \right)}^{10-i}}}=\sum\limits_{i=0}^{10}{C_{10}^{i}{{x}^{5i-30}}}\)

Số hạng chứa \({{x}^{5}}\)trong khai triển ứng với i thỏa mãn: \(5i-30=5\Leftrightarrow i=7\)

Hệ số của số hạng chứa \({{x}^{5}}\)trong khai triển: \(C_{10}^{7}=120\)

Chọn: A

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.