Bạn An có một tâm bìa hình tròn như hình vẽ. An muốn biến hình tròn đó thành một cái phễu

Câu hỏi số 256263:

Vận dụng

Bạn An có một tâm bìa hình tròn như hình vẽ. An muốn biến hình tròn đó thành một cái phễu hình nón. Khi đó An phải cắt bỏ hình quạt tròn OAB rồi dán hai bán kính OA và OB lại với nhau. Gọi x là góc ở tâm hình quạt tròn dùng để làm phễu. Tìm x để thể tích phễu lớn nhất.

\(\frac{\pi }{4}\)

\(\frac{2\sqrt{6}\pi }{3}\)

\(\frac{\pi }{3}\)

D. \(\frac{\pi }{2}\)

Đáp án đúng là: B

Phương pháp giải

Tính độ dài cung AB chính là chu vi đường tròn đáy của hình nón, suy ra bán kính đáy r của hình nón.

Sử dụng công thức \(h=\sqrt{{{l}^{2}}-{{r}^{2}}}\) suy ra độ dài đường cao của hình nón.

Sử dụng công thức tính thể tích hình nón \(V=\frac{1}{3}\pi {{r}^{2}}h\)

Giải chi tiết

Độ dài cung AB là xR cũng chính là chu vi đáy của hình nón \(\Rightarrow r=\frac{xR}{2\pi }\)

\(\Rightarrow h=\sqrt{{{R}^{2}}-\frac{{{x}^{2}}{{R}^{2}}}{4{{\pi }^{2}}}}=\frac{R}{2\pi }\sqrt{4{{\pi }^{2}}-{{x}^{2}}}\)

\(\Rightarrow \) Thể tích của hình nón \(V=\frac{1}{3}\pi {{\left( \frac{xR}{2\pi } \right)}^{2}}.\frac{R}{2\pi }\sqrt{4{{\pi }^{2}}-{{x}^{2}}}=\frac{\pi }{3}.{{\left( \frac{R}{2\pi } \right)}^{3}}{{x}^{2}}\sqrt{4{{\pi }^{2}}-{{x}^{2}}}\)

Xét hàm số

\(f'\left( x \right) = 2x\sqrt {4{\pi ^2} - {x^2}} + {x^2}\frac{{ - x}}{{\sqrt {4{\pi ^2} - {x^2}} }} = \frac{{2x\left( {4{\pi ^2} - {x^2}} \right) - {x^3}}}{{\sqrt {4{\pi ^2} - {x^2}} }} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\2\left( {4{\pi ^2} - {x^2}} \right) = {x^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = \frac{{2\sqrt 6 }}{3}\pi \end{array} \right.\)

Lập BBT ta thấy \(f{{\left( x \right)}_{\max }}=f\left( \frac{2\sqrt{6}}{3}\pi \right)\).

Chọn B.

Xem lời giải Hỏi đáp / Thảo luận

Câu hỏi:256263

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.