Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm \(A\left( 1;5;0 \right);\,\,B\left( 3;3;6 \right)\) và

Câu hỏi số 256262:

Vận dụng cao

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm \(A\left( 1;5;0 \right);\,\,B\left( 3;3;6 \right)\) và đường thẳng \(d:\,\,\left\{ \begin{align} x=-1+2t \\ y=1-t \\ z=2t \\ \end{align} \right.\) . Một điểm M thay đổi trên d sao cho chu vi tam giác ABM nhỏ nhất. Khi đó tọa độ điểm M và chu vi tam giác ABM là :

\(M\left( 1;0;2 \right);\,\,P=2\sqrt{11}+\sqrt{29}\)

\(M\left( 1;2;2 \right);\,\,P=2\left( \sqrt{11}+\sqrt{29} \right)\)

\(M\left( 1;2;2 \right);\,\,P=\sqrt{11}+\sqrt{29}\)

D. \(M\left( 1;0;2 \right);\,\,P=2\left( \sqrt{11}+\sqrt{29} \right)\)

Đáp án đúng là: D

Phương pháp giải

\({{P}_{MAB}}=MA+MB+\underbrace{AB}_{const}\) đạt GTNN \(\Leftrightarrow {{\left( MA+MB \right)}_{\min }}\)

Giải chi tiết

Ta có \({{P}_{MAB}}=MA+MB+\underbrace{AB}_{const}\) đạt GTNN \(\Leftrightarrow {{\left( MA+MB \right)}_{\min }}\)

Ta có \(MA+MB\ge 2\sqrt{MA.MB}\), dấu bằng xảy ra \(\Leftrightarrow M\in \) mặt phẳng trung trực (P) của AB.

Mà \(M\in d\Rightarrow M=d\cap \left( P \right)\)

Gọi I là trung điểm của AB ta có \(I\left( 2;4;3 \right)\). Mặt phẳng trung trực của AB đi qua I và nhận \(\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}=\left( 1;-1;3 \right)\) là 1 VTPT nên có phương trình \(x-y+3z-7=0\).

Do \(M\in d\Rightarrow M\left( -1+2t;1-t;2t \right)\). Thay vào phương trình mặt phẳng (P) ta tìm được \(t=1\Rightarrow M\left( 1;0;2 \right)\).

\(\Rightarrow MA=MB=\sqrt{29};AB=2\sqrt{11}\Rightarrow {{P}_{ABC}}=2\left( \sqrt{11}+\sqrt{29} \right)\).

Chọn D.

Xem lời giải Hỏi đáp / Thảo luận

Câu hỏi:256262

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.