Cho hàm số \(y=\frac{2x-3}{x-2}\) có đồ thị \((C)\). Một tiếp tuyến của \((C)\) cắt hai tiệm cận

Câu hỏi số 257258:

Vận dụng

Cho hàm số \(y=\frac{2x-3}{x-2}\) có đồ thị \((C)\). Một tiếp tuyến của \((C)\) cắt hai tiệm cận của \((C)\)tại hai điểm A, B và \(AB=2\sqrt{2}\). Hệ số góc tiếp tuyến đó bằng

\(-\sqrt{2}\).

\(-2\).

\(-\frac{1}{2}\).

D. \(-1\).

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:257258

Phương pháp giải

Hàm số bậc nhất trên bậc nhất \(y=\frac{ax+b}{cx+d},\,\,\left( a,c,ad-cd\ne 0 \right)\) có TCĐ: \(x=-\frac{d}{c}\) , TCN: \(y=\frac{a}{c}\).

Giải chi tiết

TXĐ: \(D=R\backslash \left\{ 2 \right\}\)

\(y=\frac{2x-3}{x-2}\) (C) có 2 đường tiệm cận: \(x=2,\,\,y=2\)

Ta có \(y'=\frac{-1}{{{\left( x-2 \right)}^{2}}}\)

Gọi \(M({{x}_{0}};{{y}_{0}}),\,\,({{x}_{0}}\ne 0)\) là tiếp điểm. Tiếp tuyến của (C) tại M có phương trình :

\(y=y'({{x}_{0}})(x-{{x}_{0}})+{{y}_{0}}\Leftrightarrow y=-\frac{x-{{x}_{0}}}{{{({{x}_{0}}-2)}^{2}}}+\frac{2{{x}_{0}}-3}{{{x}_{0}}-2}\,\,\,(d)\)

Cho \(x=2\Rightarrow y=\frac{1}{{{x}_{0}}-2}+\frac{2{{x}_{0}}-3}{{{x}_{0}}-2}=\frac{2{{x}_{0}}-2}{{{x}_{0}}-2}\Rightarrow (d)\) cắt TCĐ của (C) tại điểm \(A\left( 2;\frac{2{{x}_{0}}-2}{{{x}_{0}}-2} \right)\).

Cho \(y=2\Rightarrow 2=-\frac{x-{{x}_{0}}}{{{\left( {{x}_{0}}-2 \right)}^{2}}}+\frac{2{{x}_{0}}-3}{{{x}_{0}}-2}\Leftrightarrow 2{{({{x}_{0}}-2)}^{2}}=-x+{{x}_{0}}+(2{{x}_{0}}-3)({{x}_{0}}-2)\)

\(\Leftrightarrow 2{{x}_{0}}^{2}-8{{x}_{0}}+8=-x+{{x}_{0}}+2{{x}_{0}}^{2}-7{{x}_{0}}+6\Leftrightarrow x=2{{x}_{0}}-2\Rightarrow (d)\)cắt TCN của (C) tại điểm \(B\left( 2{{x}_{0}}-2;2 \right)\)

Độ dài đoạn AB: \(\begin{align} \sqrt{{{\left( 2-(2{{x}_{0}}-2) \right)}^{2}}+{{\left( \frac{2{{x}_{0}}-2}{{{x}_{0}}-2}-2 \right)}^{2}}}=2\sqrt{2}\Leftrightarrow 4{{\left( {{x}_{0}}-2 \right)}^{2}}+{{\left( \frac{2}{{{x}_{0}}-2} \right)}^{2}}=8\Leftrightarrow {{\left( {{x}_{0}}-2 \right)}^{4}}-2{{\left( {{x}_{0}}-2 \right)}^{2}}+1=0 \\ \Leftrightarrow {{\left[ {{\left( {{x}_{0}}-2 \right)}^{2}}-1 \right]}^{2}}=0\Leftrightarrow {{\left( {{x}_{0}}-2 \right)}^{2}}=1 \\ \end{align}\)

Hệ số góc của tiếp tuyến \(y'({{x}_{0}})=-\frac{1}{{{\left( {{x}_{0}}-2 \right)}^{2}}}=-\frac{1}{1}=-1\).

Chọn: D

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.