Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm \(A\left( 1;1;0 \right),\,\,B\left( 0;-1;2 \right)\).

Câu hỏi số 257259:

Vận dụng

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm \(A\left( 1;1;0 \right),\,\,B\left( 0;-1;2 \right)\). Biết rằng có hai mặt phẳng cùng đi qua hai điểm O, A và cùng cách B một khoảng bằng \(\sqrt{3}\). Vecto nào trong các vecto dưới đây là một vecto pháp tuyến của một trong hai mặt phẳng đó?

\(\overrightarrow{{{n}_{1}}}=\left( 1;-1;-1 \right)\).

\(\overrightarrow{{{n}_{2}}}=\left( 1;-1;-3 \right)\).

\(\overrightarrow{{{n}_{3}}}=\left( 1;-1;5 \right)\).

D. \(\overrightarrow{{{n}_{4}}}=\left( 1;-1;-5 \right)\).

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:257259

Phương pháp giải

Gọi \(\overrightarrow{n}\left( a;b;c \right),\,\left( \overrightarrow{n}\ne \overrightarrow{0} \right)\) là một VTPT của \(\left( \alpha \right)\). Viết phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\).

Sử dụng các giả thiết \(O\in \left( \alpha \right);\,\,A\in \left( \alpha \right);\,\,d\left( B;\left( \alpha \right) \right)=\sqrt{3}\) lập hệ phương trình tìm a, b, c.

Giải chi tiết

Gọi \(\overrightarrow{n}\left( a;b;c \right),\,\left( \overrightarrow{n}\ne \overrightarrow{0} \right)\) là một VTPT của \(\left( \alpha \right)\).

\(O(0;0;0)\in \left( \alpha \right)\Rightarrow \left( \alpha \right):ax+by+cz=0\)

\(\begin{align} A\left( 1;1;0 \right)\in \left( \alpha \right)\Rightarrow a+b=0\Rightarrow b=-a\Rightarrow \left( \alpha \right):ax-ay+cz=0 \\d(B;\left( \alpha \right))=\sqrt{3}\Leftrightarrow \frac{\left| a.0-a.(-1)+2c \right|}{\sqrt{2{{a}^{2}}+{{c}^{2}}}}=\sqrt{3}\Leftrightarrow \frac{\left| a+2c\right|}{\sqrt{2{{a}^{2}}+{{c}^{2}}}}=\sqrt{3} \\ \Leftrightarrow {{(a+2c)}^{2}}=3(2{{a}^{2}}+{{c}^{2}})\Leftrightarrow{{a}^{2}}+4ac+4{{c}^{2}}=6{{a}^{2}}+3{{c}^{2}}\Leftrightarrow 5{{a}^{2}}-4ac-{{c}^{2}}=0 \\ \end{align}\)

Cho \(a=1\Rightarrow {{c}^{2}}+4c-5=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} c=1 \\ c=-5 \\ \end{align} \right.\Rightarrow \overrightarrow{n}\left( 1;-1;1 \right)\)hoặc \(\overrightarrow{n}\left( 1;-1;-5 \right)\).

Chọn: D

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.