Giải phương trình \({{\left( {{x}^{3}}-4 \right)}^{3}}={{\left( \sqrt[3]{{{\left( {{x}^{2}}+4 \right)}^{2}}}+4

Câu hỏi số 259082:

Vận dụng cao

Giải phương trình \({{\left( {{x}^{3}}-4 \right)}^{3}}={{\left( \sqrt[3]{{{\left( {{x}^{2}}+4 \right)}^{2}}}+4 \right)}^{2}}\)

A. \(x=2\)

B. \(x=3\)

C. \(x=4\)

D. \(x=5\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:259082

Phương pháp giải

+) Tìm ĐKXĐ.

+) Cộng cả hai vế với \(-{{x}^{6}}\)

+) Sử dụng các hằng đẳng thức \({{a}^{3}}-{{b}^{3}}=\left( a-b \right)\left( {{a}^{2}}+ab+{{b}^{2}} \right);\,\,{{a}^{2}}-{{b}^{2}}=\left( a-b \right)\left( a+b \right)\).

+) Đưa phương trình về dạng tích.

Giải chi tiết

ĐK : \({{x}^{3}}-4\ge 0\Leftrightarrow x\ge \sqrt[3]{4}\).

\(\begin{array}{l}
\,\,\,\,\,{\left( {{x^3} - 4} \right)^3} = {\left( {\sqrt[3]{{{{\left( {{x^2} + 4} \right)}^2}}} + 4} \right)^2}\\
\Leftrightarrow {\left( {{x^3} - 4} \right)^3} - {x^6} = {\left( {\sqrt[3]{{{{\left( {{x^2} + 4} \right)}^2}}} + 4} \right)^2} - {x^6}\\
\Leftrightarrow {\left( {{x^3} - 4} \right)^3} - {\left( {{x^2}} \right)^3} = {\left( {\sqrt[3]{{{{\left( {{x^2} + 4} \right)}^2}}} + 4} \right)^2} - {\left( {{x^2} + 4} \right)^2} + {\left( {{x^2} + 4} \right)^2} - {\left( {{x^3}} \right)^2}\\
\Leftrightarrow \left( {{x^3} - 4 - {x^2}} \right)\left[ {{{\left( {{x^3} - 4} \right)}^2} + {x^4} + {x^2}\left( {{x^3} - 4} \right)} \right]\\
\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \left( {\sqrt[3]{{{{\left( {{x^2} + 4} \right)}^2}}} + 4 - {x^2} - 4} \right)\left( {\sqrt[3]{{{{\left( {{x^2} + 4} \right)}^2}}} + 4 + {x^2} + 4} \right) + \left( {{x^2} + 4 - {x^3}} \right)\left( {{x^2} + 4 + {x^3}} \right)
\end{array}\)

\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \left( {{x^3} - 4 - {x^2}} \right)\left[ {{{\left( {{x^3} - 4} \right)}^2} + {x^4} + {x^2}\left( {{x^3} - 4} \right)} \right]\\
\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \left( {\sqrt[3]{{{{\left( {{x^2} + 4} \right)}^2}}} - {x^2}} \right)\left( {\sqrt[3]{{{{\left( {{x^2} + 4} \right)}^2}}} + {x^2} + 8} \right) + \left( {{x^2} + 4 - {x^3}} \right)\left( {{x^2} + 4 + {x^3}} \right)\\
\Leftrightarrow \left( {{x^3} - 4 - {x^2}} \right)\left[ {{{\left( {{x^3} - 4} \right)}^2} + {x^4} + {x^2}\left( {{x^3} - 4} \right)} \right]\\
\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \frac{{{{\left( {{x^2} + 4} \right)}^2} - {x^6}}}{{\left[ {\sqrt[3]{{{{\left( {{x^2} + 4} \right)}^4}}} + {x^4} + {x^2}\sqrt[3]{{{{\left( {{x^2} + 4} \right)}^2}}}} \right]}}\left( {\sqrt[3]{{{{\left( {{x^2} + 4} \right)}^2}}} + {x^2} + 8} \right) + \left( {{x^2} + 4 - {x^3}} \right)\left( {{x^2} + 4 + {x^3}} \right)\\
\Leftrightarrow \left( {{x^3} - 4 - {x^2}} \right)\left[ {{{\left( {{x^3} - 4} \right)}^2} + {x^4} + {x^2}\left( {{x^3} - 4} \right)} \right]\\
\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \frac{{\left( {{x^2} + 4 - {x^3}} \right)\left( {{x^2} + 4 + {x^3}} \right)}}{{\left[ {\sqrt[3]{{{{\left( {{x^2} + 4} \right)}^4}}} + {x^4} + {x^2}\sqrt[3]{{{{\left( {{x^2} + 4} \right)}^2}}}} \right]}}\left( {\sqrt[3]{{{{\left( {{x^2} + 4} \right)}^2}}} + {x^2} + 8} \right) + \left( {{x^2} + 4 - {x^3}} \right)\left( {{x^2} + 4 + {x^3}} \right)\\
\Leftrightarrow \left( {{x^3} - 4 - {x^2}} \right)\left[ {{{\left( {{x^3} - 4} \right)}^2} + {x^4} + {x^2}\left( {{x^3} - 4} \right)} \right] - \frac{{\left( {{x^2} + 4 - {x^3}} \right)\left( {{x^2} + 4 + {x^3}} \right)}}{{\left[ {\sqrt[3]{{{{\left( {{x^2} + 4} \right)}^4}}} + {x^4} + {x^2}\sqrt[3]{{{{\left( {{x^2} + 4} \right)}^2}}}} \right]}}\left( {\sqrt[3]{{{{\left( {{x^2} + 4} \right)}^2}}} + {x^2} + 8} \right)\\
\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, - \left( {{x^2} + 4 - {x^3}} \right)\left( {{x^2} + 4 + {x^3}} \right) = 0\\
\Leftrightarrow \left( {{x^3} - 4 - {x^2}} \right)\left\{ \begin{array}{l}
\left[ {{{\left( {{x^3} - 4} \right)}^2} + {x^4} + {x^2}\left( {{x^3} - 4} \right)} \right]\\
+ \frac{{\left( {{x^2} + 4 + {x^3}} \right)}}{{\left[ {\sqrt[3]{{{{\left( {{x^2} + 4} \right)}^4}}} + {x^4} + {x^2}\sqrt[3]{{{{\left( {{x^2} + 4} \right)}^2}}}} \right]}}\left( {\sqrt[3]{{{{\left( {{x^2} + 4} \right)}^2}}} + {x^2} + 8} \right) + \left( {{x^2} + 4 + {x^3}} \right)
\end{array} \right\} = 0\,\,\,\,\left( 1 \right)\\
Vi\,\,x \ge \sqrt[3]{4} > 0\\
\Leftrightarrow \left[ {{{\left( {{x^3} - 4} \right)}^2} + {x^4} + {x^2}\left( {{x^3} - 4} \right)} \right] + \frac{{\left( {{x^2} + 4 + {x^3}} \right)}}{{\left[ {\sqrt[3]{{{{\left( {{x^2} + 4} \right)}^4}}} + {x^4} + {x^2}\sqrt[3]{{{{\left( {{x^2} + 4} \right)}^2}}}} \right]}}\left( {\sqrt[3]{{{{\left( {{x^2} + 4} \right)}^2}}} + {x^2} + 8} \right) + \left( {{x^2} + 4 + {x^3}} \right) > 0\\
\Rightarrow \left( 1 \right) \Leftrightarrow {x^3} - 4 - {x^2} = 0 \Leftrightarrow {x^3} - 8 - {x^2} + 4 = 0\\
\Leftrightarrow \left( {x - 2} \right)\left( {{x^2} + 2x + 4} \right) - \left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right) = 0\\
\Leftrightarrow \left( {x - 2} \right)\left( {{x^2} + 2x + 4 - x - 2} \right) = 0\\
\Leftrightarrow \left( {x - 2} \right)\left( {{x^2} + x + 2} \right) = 0 \Leftrightarrow x = 2\,\,\,\left( {tm} \right)
\end{array}\)

Vậy nghiệm của phương trình là \(x=2\)

Đáp án cần chọn là: A

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link