Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn \(\left( O;R \right)\). Gọi I là giao điểm của AC và BD. Kẻ

Câu hỏi số 259081:

Vận dụng

Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn \(\left( O;R \right)\). Gọi I là giao điểm của AC và BD. Kẻ IH vuông góc với AB; IK vuông góc với AD \(\left( H\in AB;K\in AD \right)\).

a) Chứng minh tứ giác AHIK nội tiếp đường tròn.

b) Chứng minh IA.IC = IB.ID.

c) Chứng minh rằng tam giác HIK và tam giác BCD đồng dạng.

d) Gọi S là diện tích tam giác ABD, S’ là diện tích tam giác HIK. Chứng minh rằng: \(\frac{S'}{S}\le \frac{H{{K}^{2}}}{4A{{I}^{2}}}\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:259081

Phương pháp giải

a) Chứng minh tứ giác AHIK có tổng hai góc đối bằng 180⁰.

b) Chứng minh \(\Delta IBC\backsim \Delta IAD\).

c) Chứng minh rằng tam giác HIK và tam giác BCD đồng dạng theo trường hợp góc – góc.

d) +) Gọi \({{S}_{1}}\) là diện tích tam giác BCD.

+) Tính tỉ số \(\frac{S}{{{S}_{1}}}\) dựa vào kiến thức: Tỉ số diện tích bằng bình phương tỉ số đồng dạng và bất đẳng thức Cô-si.

+) Hạ các đường cao AE, CF của tam giác ABD và BCD, tính tỉ số \(\frac{{{S}_{1}}}{S}\).

+) \(\Rightarrow \frac{S}{S'}=\frac{S}{{{S}_{1}}}.\frac{{{S}_{1}}}{S'}\)

Giải chi tiết

a) Xét tứ giác AHIK có \(\widehat{AHI}+\widehat{AKI}={{90}^{0}}+{{90}^{0}}={{180}^{0}}\Rightarrow \) Tứ giác AHIK là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 180⁰).

b) Xét tam giác IAD và IBC có:

\(\widehat{BIC}=\widehat{AID}\) (đối đỉnh)

\(\widehat{BCI}=\widehat{ADI}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AB).

\(\Rightarrow \Delta IBC\backsim \Delta IAD\,\,\left( g.g \right)\Rightarrow \frac{IB}{IA}=\frac{IC}{ID}\Leftrightarrow IA.IC=IB.ID\).

c) Ta có \(\widehat{IHK}=\widehat{IAK}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung IK); \(\widehat{IAK}=\widehat{CBD}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung CD).

\(\Rightarrow \widehat{IHK}=\widehat{CBD}\ \left( =\widehat{IAK} \right).\)

Chứng minh tương tự ta có \(\widehat{IKH}=\widehat{CDB}\)

\(\Rightarrow \Delta IHK\backsim \Delta CBD\,\,\left( g.g \right)\)

d) Gọi \({{S}_{1}}\) là diện tích tam giác BCD.

Vì \(\Delta IHK\backsim \Delta CBD\,\,\left( cmt \right)\) theo tỉ số đồng dạng \(\frac{HK}{BD}\Rightarrow \frac{S}{{{S}_{1}}}=\frac{H{{K}^{2}}}{B{{D}^{2}}}=\frac{H{{K}^{2}}}{{{\left( IB+ID \right)}^{2}}}\le \frac{H{{K}^{2}}}{4IB.ID}=\frac{H{{K}^{2}}}{4IA.IC}\,\,\,\left( 1 \right)\)

Kẻ \(AE\bot BD;\,\,CF\bot BD\) ta có \(AE//CF\Rightarrow \frac{AE}{CF}=\frac{IA}{IC}\) (Ta-let).

Ta có \(\frac{{{S}_{1}}}{S'}=\frac{\frac{1}{2}AE.BD}{\frac{1}{2}CF.BD}=\frac{AE}{CF}=\frac{IA}{IC}\,\,\,\left( 2 \right)\)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow \frac{S}{S'}=\frac{S}{{{S}_{1}}}.\frac{{{S}_{1}}}{S'}\le \frac{H{{K}^{2}}}{4IA.IC}.\frac{IA}{IC}=\frac{H{{K}^{2}}}{4I{{A}^{2}}}\) (đpcm).

Dấu bằng xảy ra \(\Rightarrow IB=ID\)

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link