Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh \(2\sqrt{2}\), cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng

Câu hỏi số 259374:

Vận dụng cao

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh \(2\sqrt{2}\), cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và \(SA=3\). Mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) qua A và vuông góc với SC cắt cạnh SB, SC, SD lần lượt tại các điểm M, N, P. Thể tích V của khối cầu ngoại tiếp tứ diện CMNP.

A. \(V=\frac{125\pi }{6}\).

B. \(V=\frac{32\pi }{3}\).

C. \(V=\frac{108\pi }{3}\).

D. \(V=\frac{64\sqrt{2}\pi }{3}\).

Đáp án đúng là: B

Phương pháp giải

Xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp, tính bán kính mặt cầu.

Tính thể tích khối cầu \(V=\frac{4}{3}\pi {{R}^{3}}\).

Giải chi tiết

Gọi O là tâm của đáy ABCD, I, J lần lượt là trung điểm của NC, AN.

Ta có: \(\left\{ \begin{align} CD\bot AD \\ CD\bot SA \\ \end{align} \right.\Rightarrow CD\bot \left( SAD \right)\Rightarrow CD\bot AP\)

Mà \(AP\bot SC\) (do \(SC\bot \left( \alpha \right)\))

\(\Rightarrow AP\bot \left( SCD \right)\Rightarrow AP\bot PN\Rightarrow A,P,N\)nằm trên đường tròn đường kính AN.

Tương tự, \(A,M,N\) cũng nằm trên đường tròn đường kính AN.

\(\Rightarrow A\) thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác PMN, hay tứ giác APNM là tứ giác ngoại tiếp đường tròn tâm J.

Do đó, điểm A nằm trên mặt cầu ngoại tiếp tứ diện C.MNP.

OJ là đường trung bình của tam giác ANC \(\Rightarrow JO//NC\)

\(\Rightarrow JO\bot (AMNP)\) ( vì \(NC\bot (AMNP)\))

Mà J là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác AMNP

\(\Rightarrow OA=OM=ON=OP\) (1)

Mặt khác OI là đường trung bình tam giác ANC \(\Rightarrow OI//AN\Rightarrow OI\bot NC\) (do \(AN\bot NC\))

\(\Rightarrow OI\) là đường trung trực của NC \(\Rightarrow ON=OC\) (2)

Từ (1), (2) suy ra O là tâm mặt cầu ngoại tiếp C.AMNP, bán kính \(R=OC=\frac{AC}{2}=\frac{AB\sqrt{2}}{2}=\frac{2\sqrt{2}.\sqrt{2}}{2}=2\) (do ABCD là hình vuông)

Thể tích khối cầu \(V=\frac{4}{3}\pi {{R}^{3}}=\frac{4}{3}\pi {{.2}^{3}}=\frac{32\pi }{3}\).

Chọn: B

Xem lời giải Hỏi đáp / Thảo luận

Câu hỏi:259374

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.