Cho hàm số f liên tục, \(f(x)>-1,\,f(0)=0\) và thỏa mãn \(f'(x)\sqrt{{{x}^{2}}+1}=2x\sqrt{f(x)+1}\). Tính

Câu hỏi số 259375:

Vận dụng

Cho hàm số f liên tục, \(f(x)>-1,\,f(0)=0\) và thỏa mãn \(f'(x)\sqrt{{{x}^{2}}+1}=2x\sqrt{f(x)+1}\). Tính \(f\left( \sqrt{3} \right)\).

A. 0

B. 3

C. 7

D. 9

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:259375

Phương pháp giải

Lấy nguyên hàm hai vế, tìm hàm số \(f(x)\).

Giải chi tiết

\(f'(x)\sqrt{{{x}^{2}}+1}=2x\sqrt{f(x)+1}\Leftrightarrow \frac{f'(x)}{\sqrt{f(x)+1}}=\frac{2x}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}}\Rightarrow \int{\frac{f'(x)}{\sqrt{f(x)+1}}}dx=\int{\frac{2x}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}}}dx\Leftrightarrow \int{\frac{d\left( f(x)+1 \right)}{\sqrt{f(x)+1}}}=\int{\frac{d({{x}^{2}}+1)}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}}}\)

\(\Leftrightarrow 2\sqrt{f(x)+1}=2\sqrt{{{x}^{2}}+1}+C\)

Mà \(f(0)=0\Rightarrow 2\sqrt{0+1}=2\sqrt{{{0}^{2}}+1}+C\Rightarrow C=0\)

\(\Rightarrow \sqrt{f(x)+1}=\sqrt{{{x}^{2}}+1}\Leftrightarrow f(x)={{x}^{2}}\)

\(\Rightarrow f\left( \sqrt{3} \right)={{\left( \sqrt{3} \right)}^{2}}=3\)

Chọn: B

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.