Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số \(y = \frac{1}{3}\left( {m + 1} \right){x^3} - {x^2}

Câu hỏi số 260587:

Thông hiểu

Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số \(y = \frac{1}{3}\left( {m + 1} \right){x^3} - {x^2} + \left( {2m + 1} \right)x + 3\) có cực trị

A. \(m \in \left[ { - \frac{3}{2};0} \right]\)

B. \(m \in \left( { - \frac{3}{2};0} \right)\)

C. \(m \in \left( { - \frac{3}{2};0} \right)\backslash \left\{ { - 1} \right\}\)

D. \(m \in \left[ { - \frac{3}{2};0} \right]\backslash \left\{ { - 1} \right\}\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:260587

Phương pháp giải

Đồ thị hàm đa thức bậc ba có cực trị (tương đương với điều kiện có 2 điểm cực trị) \( \Leftrightarrow \) phương trình \(y' = 0\) có hai nghiệm phân biệt.

Giải chi tiết

\(\begin{array}{*{20}{l}}{TXD:{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} D = R}\\\begin{array}{l}y = \frac{1}{3}\left( {m + 1} \right){x^3} - {x^2} + \left( {2m + 1} \right)x + 3\\ \Rightarrow y' = \left( {m + 1} \right){x^2} - 2x + 2m + 1\\ \Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow \left( {m + 1} \right){x^2} - 2x + 2m + 1\, = 0\,\,\,\,\left( * \right)\end{array}\end{array}\)

+) Với \(m + 1 = 0 \Leftrightarrow m = - 1\) \( \Rightarrow \left( * \right) \Leftrightarrow - 2x - 1 = 0 \Leftrightarrow x = - \frac{1}{2}\)

\( \Rightarrow \) Hàm số có 1 điểm cực trị.

+) Với \(m + 1 \ne 0 \Leftrightarrow m \ne - 1\)

Để đồ thị hàm số có cực trị (có 2 cực trị) khi và chỉ khi phương trình \(y' = 0\) có 2 nghiệm phân biệt.

\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} m+1\ne 0 \\ {\Delta }'=1-\left( m+1 \right)\left( 2m+1 \right)>0 \\\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} m\ne \text{ }\!\!~\!\!\text{ }-1 \\ -2{{m}^{2}}-3m>0 \\\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow m \in \left( { - \frac{3}{2};0} \right)\backslash \left\{ { - 1} \right\}\)

Kết hợp 2 TH ta thấy hàm số đã cho có cực trị \( \Leftrightarrow m \in \left( { - \frac{3}{2};\,\,0} \right).\)

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.