Cho hàm số \(y = {x^3} + {x^2} + 3x + 1\) có đồ thị \((C)\). Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên

Câu hỏi số 261107:

Vận dụng

Cho hàm số \(y = {x^3} + {x^2} + 3x + 1\) có đồ thị \((C)\). Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để từ điểm \(M(0;m)\) kẻ được ít nhất 1 tiếp tuyến đến đồ thị \((C)\) mà hoành độ tiếp điểm thuộc đoạn \(\left[ {1;3} \right]\)?

A. 61

B. 0

C. 60

D. vô số

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:261107

Giải chi tiết

Gọi tiếp điểm là \(A({x_0};{y_0}),\,\,{x_0} \in \left[ {1;3} \right],\,\,{y_0} = x_0^3 + x_0^2 + 3x_0^{} + 1\)

\(y'({x_0}) = 3x_0^2 + 2x_0^{} + 3\)

Phương trình tiếp tuyến của (C) tại A là: \(y = \left( {3x_0^2 + 2x_0^{} + 3} \right)(x - {x_0}) + x_0^3 + x_0^2 + 3x_0^{} + 1\) (d)

Vì \(M(0;m) \in (d) \Rightarrow m = \left( {3x_0^2 + 2x_0^{} + 3} \right)(0 - {x_0}) + x_0^3 + x_0^2 + 3x_0^{} + 1\)

\( \Leftrightarrow m = - 3x_0^3 - 2x_0^2 - 3{x_0} + x_0^3 + x_0^2 + 3x_0^{} + 1 \Leftrightarrow - 2x_0^3 - x_0^2 + 1 = m\) (2)

Ta tìm m để phương trình (2) có nghiệm \({x_0} \in \left[ {1;3} \right]\):

Xét hàm số \(y = - 2{x^3} - {x^2} + 1 = f(x),\,\,x \in \left[ {1;3} \right]\), \(f'(x) = - 6{x^2} - 2x = - x(3x + 1) < 0,\,\,\forall x \in \left[ {1;3} \right] \Rightarrow \)Hàm số nghịch biến trên \(\left[ {1;3} \right]\)

\( \Rightarrow \mathop {Min}\limits_{\left[ {1;3} \right]} f(x) = f(3) = - 62,\mathop {Max}\limits_{\left[ {1;3} \right]} f(x) = f(1) = - 2\)

\( \Rightarrow \)Phương trình (2) có nghiệm \( \Leftrightarrow m \in \left[ { - 62; - 2} \right]\)

Mà \(m \in Z \Rightarrow \) Tập hợp các giá trị của m thỏa mãn là \(\left\{ { - 62; - 61;...; - 3; - 2} \right\}\): Có 61 giá trị của m thỏa mãn.

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.