Cho n số nguyên dương, \(n\ge 5.\) Xét một đa giác lồi n cạnh. Người ta muốn kẻ một số

Câu hỏi số 261528:

Vận dụng cao

Cho n số nguyên dương, \(n\ge 5.\) Xét một đa giác lồi n cạnh. Người ta muốn kẻ một số đường chéo của đa giác mà các đường chéo này chia đa giác đã cho thành đúng k miền, mỗi miền là một ngũ giác lồi (hai miền bất kỳ không có điểm trong chung).

a. Chứng minh rằng ta có thể thực hiện được với \(n=2018,\ \ k=672.\)

b. Với \(n=2017,\ k=672\) ta có thể thực hiện được không? Hãy giải thích.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:261528

Giải chi tiết

1) Kí hiệu đa giác 2018 cạnh là \({{A}_{1}}{{A}_{2}}....{{A}_{2018}}\).

Kẻ các đường chéo \({{A}_{1}}{{A}_{5}};{{A}_{1}}{{A}_{8}};...{{A}_{1}}{{A}_{2015}}\).

Khi đó đa giác này được chia thành 672 ngũ giác lồi như sau:

\(\begin{align} & {{A}_{1}}{{A}_{2}}{{A}_{3}}{{A}_{4}}{{A}_{5}} \\& {{A}_{1}}{{A}_{5}}{{A}_{6}}{{A}_{7}}{{A}_{8}} \\& ..... \\& .... \\& {{A}_{1}}{{A}_{2012}}{{A}_{2013}}{{A}_{2014}}{{A}_{2015}} \\& {{A}_{1}}{{A}_{2015}}{{A}_{2016}}{{A}_{2017}}{{A}_{2018}} \\\end{align}\)

2) Giả sử có thể chia đa giác lồi 2017 cạnh thành 672 ngũ giác lồi bởi các đường chéo của nó. Gọi p là số giao điểm của các đường chéo nằm trong đa giác.

Do mỗi đỉnh của ngũ giác là 1 đỉnh của đa giác đã cho hoặc là 1 trong p điểm trên nên tổng số góc của các ngũ giác này là: \(p{{.360}^{0}}+(2017-2){{.180}^{0}}=(2p+2015){{.180}^{0}}\)

Mặt khác số ngũ giác là 672, mỗi ngũ giác có số góc ở các đỉnh là \({{3.180}^{0}}\) nên tổng số góc của ngũ giác là: \({{672.3.180}^{0}}\)

Từ đó suy ra: \(2p+2015=672.3\Rightarrow p=\frac{1}{2}.\) (vô lý)

Do đó không thể thực hiện được với \(n=2017,\ \ k=672.\) .

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link