Cho tam giác ABC nhọn AB < AC. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của CA, AB. Trung trực của

Câu hỏi số 261527:

Vận dụng

Cho tam giác ABC nhọn AB < AC. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của CA, AB. Trung trực của đoạn EF cắt BC tại D. Giả sử P nằm trong \(\widehat{EAF}\) và nằm ngoài tam giác AEF sao cho \(\widehat{PEC}=\widehat{DEF};\ \widehat{\ PFB}=\widehat{DFE}\). PA cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác PEF tại Q khác P.

1) Chứng minh rằng: \(\widehat{EQF}=\widehat{BAC}+\widehat{EDF}\).

2) Tiếp tuyến tại P của đường tròn ngoại tiếp tam giác PEF cắt các đường CA, CB lần lượt tại M và N. Chứng minh rằng 4 điểm C, M, B, N cùng nằm trên 1 đường tròn. Gọi đường tròn này là (K).

3) Chứng minh rằng đường tròn (K) tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:261527

Giải chi tiết

1) Vì tứ giác PEQF là tứ giác nội tiếp đường tròn tâm I nên : \(\widehat{EQF}={{180}^{0}}-\widehat{EPF}.\)

Xét \(\Delta EPF\) ta có: \(\widehat{FEP}+\widehat{EFP}={{180}^{0}}-\widehat{EPF}.\)

\(\Rightarrow \widehat{EQF}=\widehat{EFP}+\widehat{FEP}.\)

Lại có: \(\left\{ \begin{align} & \widehat{FEP}=\widehat{FED}+\widehat{DEP}=\widehat{PEC}+\widehat{PED}=\widehat{DEC} \\& \widehat{EFP}=\widehat{EFD}+\widehat{DEP}=\widehat{BFP}+\widehat{DEP}=\widehat{DFB} \\\end{align} \right..\)

Áp dụng tính chất góc ngoài của tam giác \(AFD\) và tam giác \(AED\) có: \(\left\{ \begin{align} & \widehat{BFD}=\widehat{FAD}+\widehat{FDA} \\& \widehat{DEC}=\widehat{DAE}+\widehat{ADE} \\\end{align} \right..\)

\(\begin{align} & \Rightarrow \widehat{EQF}={{180}^{0}}-\widehat{EPF} \\& =\widehat{PEF}+\widehat{PFE}=\widehat{DEC}+\widehat{DFB} \\& =\widehat{EAD}+\widehat{EDA}+\widehat{FAD}+\widehat{FDA} \\& =\widehat{BAC}+\widehat{EDF}\ \ \left( dpcm \right). \\\end{align}\)

+) Không mất tính tổng quát, giả sử M nằm trên tia đối của tia CA và N nằm trên tia đối tia BA. Ta có :

\(\begin{align} & \widehat{MNB}={{180}^{0}}-\widehat{NDF}-\widehat{PFN}={{180}^{0}}-\widehat{PEF}-\widehat{DFE} \\& ={{180}^{0}}-\widehat{DEC}-\widehat{DEF} \\& ={{180}^{0}}-\widehat{CEF}=\widehat{AEF}=\widehat{ACB}. \\\end{align}\)

Do đó tứ giác NBMC nội tiếp đường tròn (K). (góc có đỉnh nằm ngoài tại 1 đỉnh bằng góc nằm trong tại đỉnh đối diện).

3) Ta có :

Gọi X, Y, S là các điểm đối của của P qua EF, AE và AF thì từ giả thiết

\(\begin{align} & \widehat{PEC}=\widehat{\text{DEF}}\Rightarrow \widehat{DEY}=\widehat{D\text{EX}} \\& \text{EX}=EY\Rightarrow DX=DY \\\end{align}\)

Chứng minh tương tự ta có ngay DX = DY = DS.

Mà AY = AP = AS do đó : \(\widehat{\text{DAS}}=\widehat{DAY}\Rightarrow \widehat{PAB}=\widehat{DAC}\)

Đường tròn (PEM) cắt đường tròn (AEF) tại R khác E. Ta thấy:

\(\widehat{RPN}=\widehat{REM}=\widehat{RFA}\) nên tứ giác PRNF nội tiếp.

Lại do BNCM nội tiếp nên

\(\begin{align} & \widehat{ABC}={{180}^{0}}-\widehat{NBC}={{180}^{0}}-\widehat{CMN}=\widehat{AMN} \\& \Rightarrow \widehat{\text{AR}E}=\widehat{AFE}=\widehat{ABC}=\widehat{AMN}={{180}^{0}}-\widehat{PRE} \\\end{align}\)

Do vậy A, R, P thẳng hàng.

Gọi giao điểm của EF và AD là I, theo tính chất đường trung bình nên I là trung điểm của AD.

Ta lại có:

\(\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
\widehat {AEI} = \widehat {ARF}\\
\widehat {PAB} = \widehat {DAC}
\end{array} \right. \Rightarrow \Delta AEI \sim \Delta ARF(g.g)\\
\Rightarrow \Delta AED \sim \Delta ARB\\
\Rightarrow \widehat {ABR} = \widehat {ADE} = \widehat {DEC} - \widehat {DAE} = \widehat {PEF} - \widehat {PAB}\\
= \widehat {{\rm{PEF}}} - \widehat {FER} = \widehat {P{\rm{ER}}} = \widehat {RMP}.
\end{array}\)

Do vậy tứ giác NRMB nội tiếp.

Từ đó: \(\widehat{\text{ER}M}=\widehat{EPM}=\widehat{EFP}=\widehat{EFR}+\widehat{RFP}=\widehat{RAE}+\widehat{RNM}.\)

Vậy đường tròn ngoại tiếp tam giác REF và K tiếp xúc nhau tại R.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link