Cho hypebol \((H):9{x^2} - 16{y^2} = 144\). Tìm điểm \(M \in (H)\) sao cho: tổng khoảng cách từ M đến hai

Câu hỏi số 262648:

Thông hiểu

Cho hypebol \((H):9{x^2} - 16{y^2} = 144\). Tìm điểm \(M \in (H)\) sao cho: tổng khoảng cách từ M đến hai đường tiệm cận là \(\frac{{24\sqrt 5 }}{5}\).

A. \({M_1}\left( {\sqrt 5 ;6} \right);{M_2}\left( { - \sqrt 5 ;6} \right);{M_3}\left( {\sqrt 5 ; - 6} \right);{M_4}\left( { - \sqrt 5 ; - 6} \right)\).

B. \({M_1}\left( {4\sqrt 5 ;16} \right);{M_2}\left( { - 4\sqrt 5 ;16} \right);{M_3}\left( {4\sqrt 5 ; - 16} \right);{M_4}\left( { - 4\sqrt 5 ; - 16} \right)\).

C. \({M_1}\left( {4\sqrt 5 ;6} \right);{M_2}\left( { - 4\sqrt 5 ;6} \right);{M_3}\left( {4\sqrt 5 ; - 6} \right);{M_4}\left( { - 4\sqrt 5 ; - 6} \right)\).

D. \({M_1}\left( {4\sqrt {15} ;16} \right);{M_2}\left( { - 4\sqrt {15} ;16} \right);{M_3}\left( {4\sqrt {15} ; - 16} \right);{M_4}\left( { - 4\sqrt {15} ; - 16} \right)\).

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:262648

Phương pháp giải

Hypebol \((H):\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) có 2 đường tiệm cận là \(y = \pm \frac{b}{a}x\).

Giải chi tiết

\((H):9{x^2} - 16{y^2} = 144 \Leftrightarrow \frac{{{x^2}}}{{16}} - \frac{{{y^2}}}{9} = 1 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 4\\b = 3\end{array} \right.\)

Hypebol\((H)\) có 2 đường tiệm cận là \(y = \pm \frac{b}{a}x \Leftrightarrow y = \pm \frac{3}{4}x \Leftrightarrow 3x + 4y = 0\,\,({d_1}),\,\,\,3x - 4y = 0\,\,({d_2})\)

\(M({x_0};{y_0}) \in (H) \Rightarrow \)\(9{x_0}^2 - 16{y_0}^2 = 144\) (1)

Vì tổng khoảng cách từ M đến hai đường tiệm cận là \(\frac{{24\sqrt 5 }}{5}\) nên :

\(\frac{{\left| {3{x_0} + 4{y_0}} \right|}}{5} + \frac{{\left| {3{x_0} - 4{y_0}} \right|}}{5} = \frac{{24\sqrt 5 }}{5} \Leftrightarrow \left| {3{x_0} + 4{y_0}} \right| + \left| {3{x_0} - 4{y_0}} \right| = 24\sqrt 5 \)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\left| {3{x_0} + 4{y_0}} \right|^2} + 2\left| {3{x_0} + 4{y_0}} \right|.\left| {3{x_0} - 4{y_0}} \right| + {\left| {3{x_0} - 4{y_0}} \right|^2} = 2880\\ \Leftrightarrow 9{x_0}^2 + 24{x_0}{y_0} + 16{y_0}^2 + 2.\left| {9{x_0}^2 - 16{y_0}^2} \right| + 9{x_0}^2 - 24{x_0}{y_0} + 16{y_0}^2 = 2880\\ \Leftrightarrow 18{x_0}^2 + 32{y_0}^2 + 2.144 = 2880\\ \Leftrightarrow 18{x_0}^2 + 32{y_0}^2 = 2592\,\,(2)\end{array}\)

Từ (1), (2), ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}9{x_0}^2 - 16{y_0}^2 = 144\\18{x_0}^2 + 32{y_0}^2 = 2592\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_0}^2 = 80\\{y_0}^2 = 36\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_0} = \pm 4\sqrt 5 \\{y_0} = \pm 6\end{array} \right.\)

Vậy, \({M_1}\left( {4\sqrt 5 ;6} \right);{M_2}\left( { - 4\sqrt 5 ;6} \right);{M_3}\left( {4\sqrt 5 ; - 6} \right);{M_4}\left( { - 4\sqrt 5 ; - 6} \right)\).

Đáp án cần chọn là: C

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K11 học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, Kiến thức cập nhật theo chương trình mới nhất. Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.