Cho hypebol \((H):9{x^2} - 16{y^2} = 144\). Tìm điểm \(M \in (H)\) sao cho: M nhìn hai tiêu điểm dưới một

Câu hỏi số 262647:

Thông hiểu

Cho hypebol \((H):9{x^2} - 16{y^2} = 144\). Tìm điểm \(M \in (H)\) sao cho: M nhìn hai tiêu điểm dưới một góc vuông

A. \({M_1}\left( {\frac{{4\sqrt {34} }}{5};\frac{9}{5}} \right);{M_2}\left( { - \frac{{4\sqrt {34} }}{5};\frac{9}{5}} \right);{M_3}\left( {\frac{{4\sqrt {34} }}{5}; - \frac{9}{5}} \right);{M_4}\left( { - \frac{{4\sqrt {34} }}{5}; - \frac{9}{5}} \right)\).

B. \({M_1}\left( {\frac{{\sqrt {34} }}{5};\frac{9}{5}} \right);{M_2}\left( { - \frac{{\sqrt {34} }}{5};\frac{9}{5}} \right);{M_3}\left( {\frac{{\sqrt {34} }}{5}; - \frac{9}{5}} \right);{M_4}\left( { - \frac{{\sqrt {34} }}{5}; - \frac{9}{5}} \right)\).

C. \({M_1}\left( {\frac{{4\sqrt {17} }}{5};\frac{{19}}{5}} \right);{M_2}\left( { - \frac{{4\sqrt {17} }}{5};\frac{{19}}{5}} \right);{M_3}\left( {\frac{{4\sqrt {17} }}{5}; - \frac{{19}}{5}} \right);{M_4}\left( { - \frac{{4\sqrt {17} }}{5}; - \frac{{19}}{5}} \right)\).

D. \({M_1}\left( {\frac{{4\sqrt {34} }}{5};\frac{{19}}{5}} \right);{M_2}\left( { - \frac{{4\sqrt {34} }}{5};\frac{{19}}{5}} \right);{M_3}\left( {\frac{{4\sqrt {34} }}{5}; - \frac{{19}}{5}} \right);{M_4}\left( { - \frac{{4\sqrt {34} }}{5}; - \frac{{19}}{5}} \right)\).

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:262647

Phương pháp giải

\((H):\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1,\,\,{c^2} = {a^2} + {b^2}\). Tọa độ tiêu điểm \({F_1}( - c;0),\,{F_2}(c;0)\)

\(\widehat {{F_1}M{F_2}} = {90^0} \Leftrightarrow \overrightarrow {M{F_1}} .\overrightarrow {M{F_2}} = 0\)

Giải chi tiết

Lấy \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right) \in \left( H \right) \Rightarrow 9{x_0}^2 - 16{y_0}^2 = 144\,(1)\)

\((H):9{x^2} - 16{y^2} = 144 \Leftrightarrow \frac{{{x^2}}}{{16}} - \frac{{{y^2}}}{9} = 1 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 4\\b = 3\\c = \sqrt {{a^2} + {b^2}} = 5\end{array} \right. \Rightarrow {F_1}( - 5;0);{F_2}(5;0)\)

\( \Rightarrow \overrightarrow {M{F_1}} = \left( { - 5 - {x_0}; - {y_0}} \right);\overrightarrow {M{F_2}} = \left( {5 - {x_0}; - {y_0}} \right)\)

Vì M nhìn hai tiêu điểm dưới một góc vuông \( \Rightarrow \widehat {{F_1}M{F_2}} = {90^0} \Leftrightarrow \overrightarrow {M{F_1}} .\overrightarrow {M{F_2}} = 0\)

\( \Leftrightarrow \left( { - 5 - {x_0}} \right).\left( {5 - {x_0}} \right) + \left( { - {y_0}} \right).\left( { - {y_0}} \right) = 0 \Leftrightarrow {x_0}^2 - 25 + {y_0}^2 = 0 \Leftrightarrow {x_0}^2 + {y_0}^2 = 25\,\,(2)\)

Từ (1), (2) ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}9{x_0}^2 - 16{y_0}^2 = 144\,\\{x_0}^2 + {y_0}^2 = 25\,\,\,\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_0}^2 = \frac{{544}}{{25}}\\{y_0}^2 = \frac{{81}}{{25}}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_0} = \pm \frac{{4\sqrt {34} }}{5}\\{y_0} = \pm \frac{9}{5}\end{array} \right.\)

Vậy, \({M_1}\left( {\frac{{4\sqrt {34} }}{5};\frac{9}{5}} \right);{M_2}\left( { - \frac{{4\sqrt {34} }}{5};\frac{9}{5}} \right);{M_3}\left( {\frac{{4\sqrt {34} }}{5}; - \frac{9}{5}} \right);{M_4}\left( { - \frac{{4\sqrt {34} }}{5}; - \frac{9}{5}} \right)\).

Đáp án cần chọn là: A

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, (Xem ngay) Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, làm quen kiến thức, định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 10