Cho x, y là các số thực dương bé hơn 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: \(Q =

Câu hỏi số 263067:

Vận dụng cao

Cho x, y là các số thực dương bé hơn 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

\(Q = \frac{{xy\left( {1 - x - y} \right)}}{{\left( {x + y} \right)\left( {1 - x} \right)\left( {1 - y} \right)}}\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:263067

Phương pháp giải

Sử dụng các bất đẳng thức \(xy \le \frac{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}}{4},\,\,\frac{{{x^2}}}{a} + \frac{{{y^2}}}{b} \ge \frac{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}}{{a + b}}\)

Giải chi tiết

Theo đầu bài ta có:

\(\frac{1}{Q} = \frac{{\left( {x + y} \right)\left( {1 - x} \right)\left( {1 - y} \right)}}{{xy\left( {1 - x - y} \right)}} = \frac{{\left( {x + y} \right)\left( {1 - x - y + xy} \right)}}{{xy\left( {1 - x - y} \right)}} = \frac{{\left( {x + y} \right)\left( {1 - x - y} \right) + \left( {x + y} \right)xy}}{{xy\left( {1 - x - y} \right)}} = \frac{{x + y}}{{xy}} + \frac{{x + y}}{{1 - x - y}}\)

Áp dụng bất đẳng thức quen thuộc: \(xy \le \frac{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}}{4} \Rightarrow \frac{{x + y}}{{xy}} \ge \frac{4}{{x + y}}\)

\( \Rightarrow \frac{1}{Q} \ge \frac{4}{{x + y}} + \frac{{x + y}}{{1 - \left( {x + y} \right)}} = \frac{4}{{x + y}} + \frac{1}{{1 - x - y}} - 1 \ge \frac{{{{\left( {2 + 1} \right)}^2}}}{{x + y + 1 - x - y}} - 1 = 8 \Rightarrow Q \le \frac{1}{8}\)

Do áp dụng bất đẳng thức sau : \(\frac{{{x^2}}}{a} + \frac{{{y^2}}}{b} \ge \frac{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}}{{a + b}}\)

Vậy giá trị lớn nhất của Q là \(\frac{1}{8}\), đạt tại \(x = y = \frac{1}{3}\).

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link