Cho x, y là các số thực dương bé hơn 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: \(Q =

Câu hỏi số 263067:

Vận dụng cao

Cho x, y là các số thực dương bé hơn 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

\(Q = \frac{{xy\left( {1 - x - y} \right)}}{{\left( {x + y} \right)\left( {1 - x} \right)\left( {1 - y} \right)}}\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:263067

Phương pháp giải

Sử dụng các bất đẳng thức \(xy \le \frac{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}}{4},\,\,\frac{{{x^2}}}{a} + \frac{{{y^2}}}{b} \ge \frac{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}}{{a + b}}\)

Giải chi tiết

Theo đầu bài ta có:

\(\frac{1}{Q} = \frac{{\left( {x + y} \right)\left( {1 - x} \right)\left( {1 - y} \right)}}{{xy\left( {1 - x - y} \right)}} = \frac{{\left( {x + y} \right)\left( {1 - x - y + xy} \right)}}{{xy\left( {1 - x - y} \right)}} = \frac{{\left( {x + y} \right)\left( {1 - x - y} \right) + \left( {x + y} \right)xy}}{{xy\left( {1 - x - y} \right)}} = \frac{{x + y}}{{xy}} + \frac{{x + y}}{{1 - x - y}}\)

Áp dụng bất đẳng thức quen thuộc: \(xy \le \frac{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}}{4} \Rightarrow \frac{{x + y}}{{xy}} \ge \frac{4}{{x + y}}\)

\( \Rightarrow \frac{1}{Q} \ge \frac{4}{{x + y}} + \frac{{x + y}}{{1 - \left( {x + y} \right)}} = \frac{4}{{x + y}} + \frac{1}{{1 - x - y}} - 1 \ge \frac{{{{\left( {2 + 1} \right)}^2}}}{{x + y + 1 - x - y}} - 1 = 8 \Rightarrow Q \le \frac{1}{8}\)

Do áp dụng bất đẳng thức sau : \(\frac{{{x^2}}}{a} + \frac{{{y^2}}}{b} \ge \frac{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}}{{a + b}}\)

Vậy giá trị lớn nhất của Q là \(\frac{1}{8}\), đạt tại \(x = y = \frac{1}{3}\).

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link