Cho tam giác ABC nhọn ( AB < AC) nội tiếp đường tròn (O). Gọi D là điểm chính giữa của dây
Cho tam giác ABC nhọn ( AB < AC) nội tiếp đường tròn (O). Gọi D là điểm chính giữa của dây cung lớn BC. Gọi E, F lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ D đến đường phân giác trong của B và đường phân giác trong của C của tam giác ABC. Chứng minh rằng trung điểm H của EF cách đều 2 điểm B và C.
Quảng cáo
Chứng minh DEKF là hình bình hành.
Gọi P là giao điểm BD và phân giác trong góc C. Q là giao điểm của AC và phân giác trong góc B. K là trung điểm BC. J là giao điểm của EK và AC. D' là điểm đối xứng với D qua O.
Ta có:
\(\begin{array}{l}\widehat {B{\rm{DD}}'} = \frac{1}{2}\widehat {BAC}\\\frac{1}{2}(\widehat {BAC} + \widehat {ABC} + \widehat {ACB}) = {90^0}\end{array}\)
Mặt khác:
\(\begin{array}{l}\widehat {DBQ} + \widehat {B{\rm{DD}}'} + \widehat {QBC} = {90^0} \Leftrightarrow \widehat {DBQ} + \frac{1}{2}\widehat {BAC} + \frac{1}{2}\widehat {ABC} = {90^0}\\ \Rightarrow \widehat {DBQ} = \frac{1}{2}\widehat {ACB}\end{array}\)
Mà tứ giác DEKB nội tiếp nên: \(\widehat {DKE} = \widehat {DBQ} = \frac{1}{2}\widehat {BCA}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung DE).
Gọi G là giao điểm của phân giác trong của góc C và EK ta có \(\widehat {DBQ} = \frac{1}{2}\widehat {ACB} = \widehat {BCG}\). Mà \(\widehat {DBQ} = \widehat {DKE}\) (tứ giác BDEK nội tiếp) \( \Rightarrow \widehat {DKE} = \widehat {BCG}\).
Lại có \(\widehat {DKE} + \widehat {GKC} = {90^0} \Rightarrow \widehat {BCG} + \widehat {GKC} = {90^0} \Rightarrow \widehat {CGK} = {90^0} \Rightarrow CG \bot EK\).
Tam giác KJC có CP là phân giác nên đây cũng đồng thời là đường cao nên cân tại C.
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}CP \bot EK\\CP \bot DF\end{array} \right. \Rightarrow DF//EK\)
Chứng minh tương tự ta có: DE // FK.
Từ đó suy ra DFKE là hình bình hành (Tứ giác có các cạnh đối song song)
Mà H là trung điểm của EF nên H là trung điểm của DK.
Từ đó D, H, K thẳng hàng.
Lại có DK là đường trung trực của BC
Nên H cũng nằm trên đường trung trực đó, vậy H cách đều B và C.
PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
