Lăng trụ \(ABC.A'B'C'.\,\,\Delta ABC\) đều. \(AB = 2a.\,\,H\) là trung điểm AB. \(A'H \bot \left( {ABC}

Câu hỏi số 263394:

Thông hiểu

Lăng trụ \(ABC.A'B'C'.\,\,\Delta ABC\) đều. \(AB = 2a.\,\,H\) là trung điểm AB. \(A'H \bot \left( {ABC} \right).\,\,AA' = 2a\). Tính \(d\left( {AC;BB'} \right)\).

A. \(\dfrac{{2a\sqrt {15} }}{{5 }}\)

B. \(\dfrac{{a\sqrt {15} }}{{5}}\)

C. \(\dfrac{{a\sqrt 5 }}{{\sqrt 2 }}\)

D. \(\dfrac{{a\sqrt 3 }}{{\sqrt 7 }}\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:263394

Giải chi tiết

Ta có: \(BB'\parallel AA \Rightarrow BB'\parallel \left( {ACC'A'} \right) \supset AC \Rightarrow d\left( {BB';AC} \right) = d\left( {B;\left( {ACC'A'} \right)} \right)\).

Lại có \(BH \cap \left( {ACC'A'} \right) = A \Rightarrow \dfrac{{d\left( {B;\left( {ACC'A'} \right)} \right)}}{{d\left( {H;\left( {ACC'A'} \right)} \right)}} = \dfrac{{BA}}{{HA}} = 2\).

\( \Rightarrow d\left( {B;\left( {ACC'A'} \right)} \right) = 2d\left( {H;\left( {ACC'A'} \right)} \right)\).

Gọi \(E,\,\,I\) lần lượt là trung điểm của \(AC,\,\,AE\).

Tam giác \(ABC\) đều \( \Rightarrow BE \bot AC\). Có \(HI\) là đường trung bình của \(\Delta ABE\).

\( \Rightarrow HI\parallel BE \Rightarrow HI \bot AC\).

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}AC \bot HI\\AC \bot A'H\,\,\left( {A'H \bot \left( {ABC} \right)} \right)\end{array} \right. \Rightarrow AC \bot \left( {A'HI} \right)\).

Trong \(\left( {A'HI} \right)\) kẻ \(HK \bot A'I \Rightarrow HK \bot AC \Rightarrow HK \bot \left( {ACC'A'} \right)\).

\( \Rightarrow d\left( {H;\left( {ACC'A'} \right)} \right) = HK \Rightarrow d\left( {AC;BB'} \right) = 2HK\).

Tam giác \(ABC\) đều cạnh \(2a \Rightarrow BE = \dfrac{{2a\sqrt 3 }}{2} = a\sqrt 3 \Rightarrow HI = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\).

Xét tam giác vuông \(A'AH\) có: \(A'H = \sqrt {AA{'^2} - A{H^2}} = \sqrt {4{a^2} - {a^2}} = a\sqrt 3 \).

Xét tam giác vuông \(A'HI\) có: \(HK = \dfrac{{A'H.HI}}{{\sqrt {A'{H^2} + H{I^2}} }} = \dfrac{{a\sqrt 3 .\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}}}{{\sqrt {3{a^2} + \dfrac{{3{a^2}}}{4}} }} = \dfrac{{a\sqrt {15} }}{5}\).

Vậy \(d\left( {AC;BB'} \right) = \dfrac{{2a\sqrt {15} }}{5}\).

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.