Cho các số phức \(w,\,\,z\) thỏa mãn \(\left| w+i \right|=\frac{3\sqrt{5}}{5}\) và \(5w=(2+i)(z-4).\) Giá

Câu hỏi số 263414:

Vận dụng cao

Cho các số phức \(w,\,\,z\) thỏa mãn \(\left| w+i \right|=\frac{3\sqrt{5}}{5}\) và \(5w=(2+i)(z-4).\) Giá trị lớn nhất của biểu thức \(P=\left| z-1-2i \right|+\left| z-5-2i \right|\) bằng

A. \(4\sqrt{13}.\)

B. \(4+2\sqrt{13}.\)

C. \(2\sqrt{53}.\)

D. \(6\sqrt{7}.\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:263414

Phương pháp giải

Gọi tọa độ, biểu diễn các số phức trong hình học phẳng, đưa về biện luận khoảng cách giữa các điểm

Giải chi tiết

Ta có \(5w=\left( 2+i \right)\left( z-4 \right)\Leftrightarrow 5w+5i=\left( 2+i \right)z-8+i\Leftrightarrow 5\left| w+i \right|=\left| \left( 2+i \right)z-8+i \right|\)

\(\Leftrightarrow \left| \left( 2+i \right)z-8+i \right|=3\sqrt{5}\Leftrightarrow \left| 2+i \right|.\left| z-\frac{8-i}{2+i} \right|=3\sqrt{5}\Leftrightarrow \left| z-\frac{8-i}{2+i} \right|=3\Leftrightarrow \left| z-3+2i \right|=3\)

\(\Rightarrow \)Tập hợp điểm \(M\left( z \right)\) là đường tròn \(\left( C \right):{{\left( x-3 \right)}^{2}}+{{\left( y+2 \right)}^{2}}=9,\) tâm \(I\left( 3;-\,2 \right),\,\,R=3.\)

Gọi \(A\left( 1;2 \right),\,\,B\left( 5;2 \right)\) và \(E\left( 3;2 \right)\) là trung điểm của \(AB\) suy ra \(P=MA+MB\).

Lại có \({{\left( MA+MB \right)}^{2}}\le 2\left( M{{A}^{2}}+M{{B}^{2}} \right)=4.M{{E}^{2}}+A{{B}^{2}}\)\(\Rightarrow \,\,P\) lớn nhất \(\Leftrightarrow \)\(ME\) lớn nhất.

Mà \(IE=4>R=3\)\(\xrightarrow{{}}\,\,M{{E}_{\max }}=IE+R=7.\) Vậy \({{P}_{\max }}=\sqrt{4.M{{E}^{2}}+A{{B}^{2}}}=2\sqrt{53}.\)

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.