Với n là số nguyên dương, đặt \({S_n} = \dfrac{1}{{1\sqrt 2 + 2\sqrt 1 }} + \dfrac{1}{{2\sqrt 3 + 3\sqrt

Câu hỏi số 263719:

Vận dụng

Với n là số nguyên dương, đặt

\({S_n} = \dfrac{1}{{1\sqrt 2 + 2\sqrt 1 }} + \dfrac{1}{{2\sqrt 3 + 3\sqrt 2 }} + \dfrac{1}{{n\sqrt {n + 1} + \left( {n + 1} \right)\sqrt n }}\)

Khi đó \(\lim {S_n}\) bằng :

A. 1

B. \(\frac{1}{{\sqrt 2 }}\)

C. \(\frac{1}{{\sqrt 2 - 1}}\)

D. \(\frac{1}{{\sqrt 2 + 2}}\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:263719

Phương pháp giải

Biến đổi biểu thức \(\frac{1}{{n\sqrt {n + 1} + \left( {n + 1} \right)\sqrt n }} = \frac{1}{{\sqrt n }} - \frac{1}{{\sqrt {n + 1} }}\)

Giải chi tiết

\(\begin{array}{l}\frac{1}{{n\sqrt {n + 1} + \left( {n + 1} \right)\sqrt n }} = \frac{1}{{\sqrt {n\left( {n + 1} \right)} \left( {\sqrt n + \sqrt {n + 1} } \right)}} = \frac{{\sqrt {n + 1} - \sqrt n }}{{\sqrt {n\left( {n + 1} \right)} }} = \frac{1}{{\sqrt n }} - \frac{1}{{\sqrt {n + 1} }}\\\,\,\,\,\,\,\,{S_n} = \frac{1}{{1\sqrt 2 + 2\sqrt 1 }} + \frac{1}{{2\sqrt 3 + 3\sqrt 2 }} + \frac{1}{{n\sqrt {n + 1} + \left( {n + 1} \right)\sqrt n }}\\ \Rightarrow {S_n} = \frac{1}{{\sqrt 1 }} - \frac{1}{{\sqrt 2 }} + \frac{1}{{\sqrt 2 }} - \frac{1}{{\sqrt 3 }} + ..... + \frac{1}{{\sqrt n }} - \frac{1}{{\sqrt {n + 1} }} = 1 - \frac{1}{{\sqrt {n + 1} }}\\ \Rightarrow \lim {S_n} = \lim \left( {1 - \frac{1}{{\sqrt {n + 1} }}} \right) = 1\end{array}\)

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.