Cho các số dương x, y, z thỏa mãn: xy + yz + zx = 3xyz. Chứng minh rằng: \(\frac{{{x^3}}}{{z + {x^2}}} +

Câu hỏi số 264600:

Vận dụng cao

Cho các số dương x, y, z thỏa mãn: xy + yz + zx = 3xyz.

Chứng minh rằng: \(\frac{{{x^3}}}{{z + {x^2}}} + \frac{{{y^3}}}{{x + {y^2}}} + \frac{{{z^3}}}{{y + {z^2}}} \ge \frac{1}{2}\left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}} \right)\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:264600

Phương pháp giải

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si.

Giải chi tiết

Theo đề bài ta có: \(xy + yz + zx = 3xyz\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \frac{{xy}}{{xyz}} + \frac{{yz}}{{xyz}} + \frac{{zx}}{{xyz}} = 3\\ \Leftrightarrow \frac{1}{z} + \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = 3.\end{array}\)

Lại có: \(3xyz = xy + yz + zx\mathop \ge \limits^{Co - si} 3\sqrt[3]{{{{\left( {xyz} \right)}^2}}} \Rightarrow xyz \ge 1.\)

\( \Rightarrow x + y + z \ge 3.\)

Ta có: \(\frac{{{x^3}}}{{z + {x^2}}} = x - \frac{{xz}}{{z + {x^2}}}\mathop \ge \limits^{Co - si} x - \frac{{xz}}{{2\sqrt {z{x^2}} }} = x - \frac{{\sqrt z }}{2} \ge x - \frac{{z + 1}}{4}.\left( {Do\,\,z + 1 \ge 2\sqrt z \Rightarrow \sqrt z \le \frac{{z + 1}}{2} \Rightarrow \frac{{\sqrt z }}{2} \le \frac{{z + 1}}{2} \Rightarrow - \frac{{\sqrt z }}{2} \ge \frac{{z + 1}}{2}} \right)\)

Tương tự ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{{{y^3}}}{{x + {y^2}}} \ge y - \frac{{x + 1}}{4}\\\frac{{{z^3}}}{{y + {z^2}}} \ge z - \frac{{y + 1}}{4}\end{array} \right..\)

Cộng vế với vế của 3 bất đẳng thức trên ta được:

\(\frac{{{x^3}}}{{z + {x^2}}} + \frac{{{y^3}}}{{x + {y^2}}} + \frac{{{z^3}}}{{y + {z^2}}} \ge x + y + z - \frac{{x + y + z + 3}}{4} \ge 3 - \frac{6}{4} = \frac{3}{2} = \frac{1}{2}\left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}} \right).\) (đpcm)

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link