Cho ba điểm A, B, C cố định và thẳng hàng theo thứ tự đó. Vẽ đường tròn (O; R) bất kỳ đi

Câu hỏi số 264599:

Vận dụng

Cho ba điểm A, B, C cố định và thẳng hàng theo thứ tự đó. Vẽ đường tròn (O; R) bất kỳ đi qua B và C (BC < 2R). Từ A kẻ các tiếp tuyến AM, AN với đường tròn (O) (M, N là các tiếp điểm). Gọi I là trung điểm của BC.

a) Chứng minh năm điểm A, M, O, I, N cùng thuộc một đường tròn.

b) Gọi J là tâm đường tròn nội tiếp tam giác MBC, E là giao điểm thứ hai của đường thẳng MJ với đường tròn (O). Chứng minh FB = EC = EJ.

c) Khi đường tròn (O) thay đổi, gọi K là giao điểm của OA và MN. Chứng minh tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OIK luôn thuộc một đường thẳng cố định.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:264599

Phương pháp giải

a) Chứng minh các điểm M, I, N cùng nhìn OA dưới 1 góc 90⁰

b) +) Chứng minh \(sd = sd \Rightarrow EB = EC\).

+) Chứng minh tam giác EBJ cân tại \(J \Rightarrow EB = EJ\)

c) Gọi \(H = AC \cap MN\), chứng minh H cố định. Chứng minh tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OIK thuộc trung trực của HI cố định.

Giải chi tiết

a) Ta có \(\widehat {OMA} = \widehat {ONA} = {90^0}\) (gt) ;

\(\widehat {OIA} = {90^0}\) (quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây cung)

\( \Rightarrow \) Các điểm M, I, N cùng nhìn OA dưới 1 góc 90⁰ nên cùng thuộc đường tròn đường kính OA.

Vậy 5 điểm A, M, O, I, N cùng thuộc đường tròn đường kính OA.

b) Ta có MJ là phân giác của \(\widehat {BMC} \Rightarrow \widehat {BME} = \widehat {EMC} \Rightarrow sd cung EB = sd cung EC \Rightarrow EB = EC\left( 1 \right)\) (hai cung bằng nhau thì căng hai dây bằng nhau).

Ta có : \(\widehat {EBC} = \widehat {EMC} = \widehat {BME};\,\,\widehat {CBJ} = \widehat {JBM}\,\,\left( {gt} \right)\)

\( \Rightarrow \widehat {EBJ} = \widehat {EBC} + \widehat {CBJ} = \widehat {BME} + \widehat {JBM}\)

Xét tam giác BMJ có \(\widehat {BME} + \widehat {JBM} = \widehat {BJE}\) (góc ngoài của tam giác bằng tổng hai góc trong không kề với nó) \( \Rightarrow \widehat {EBJ} = \widehat {BJE} \Rightarrow \Delta EBJ\) cân tại E \( \Rightarrow EB = EJ\,\,\,\left( 2 \right)\)

Từ (1) và (2) \( \Rightarrow EB = EC = EJ\).

b) Gọi \(H = AC \cap MN\), ta có \(\widehat {OKH} = {90^0}\) (Do AM, AN là 2 tiếp tuyến cắt nhau nên OA là trung trực của MN)

\(\widehat {AIO} = {90^o}\,\)(quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây cung)

Xét \(\Delta AHK\) và \(\Delta AOI\) có : \(\widehat {AKH} = \widehat {AIO} = {90^o}\,\,;\,\,\widehat {OAI}\) chung

\( \Rightarrow \Delta AHK \backsim \Delta AOI\left( {g.g} \right) \Rightarrow \frac{{AH}}{{AO}} = \frac{{AK}}{{AI}} \Rightarrow AH.AI = AO.AK\left( 3 \right)\).

Xét tam giác vuông AMO có \(AO.AK = A{M^2}\,\,\,\,\left( 4 \right)\) (hệ thức lượng trong tam giác vuông)

Ta có \(\widehat {AMB} = \widehat {ACM}\) (góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn cung BM).

Xét tam giác AMB và ACM có \(\widehat {MAC}\) chung ; \(\widehat {AMB} = \widehat {ACM}\)

\( \Rightarrow \Delta AMB \backsim \Delta ACM\left( {g.g} \right) \Rightarrow \frac{{AM}}{{AC}} = \frac{{AB}}{{AM}} \Rightarrow A{M^2} = AB.AC\left( 5 \right)\)

Từ (3) ; (4) và (5) \( \Rightarrow AH.AI = AB.AC \Rightarrow AH = \frac{{AB.AC}}{{AI}}\).

Ta có \(AB;AC;AI\) không đổi \( \Rightarrow AH\) không đổi. Mà A cố định \( \Rightarrow H\) cố định.

Gọi O’ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OIK, chính là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác OIHK \( \Rightarrow O'\) là trung điểm của OH.

\( \Rightarrow O'\) thuộc đường trung trực của HI.

Mà \(H;I\) cố định \( \Rightarrow \) Trung trực của HI cố định.

Vậy khi (O) thay đổi thì tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OIK luôn chạy trên trung trực của HI, với \(H = AC \cap MN\).

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link