Cho số phức \(z\) thỏa mãn \(\left| z-2i \right|=\left| z+2 \right|.\) Tính giá trị nhỏ nhất của

Câu hỏi số 264977:

Vận dụng cao

A. \(\sqrt{70}.\)

B. \(4\sqrt{5}.\)

C. \(\sqrt{74}.\)

\(3\sqrt{10}.\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:264977

Phương pháp giải

Sử dụng phương pháp hình học: Từ giả thiết, biểu diễn tập hợp điểm theo đường thẳng, đưa tổng độ dài về bài toán hình phẳng bằng cách biện luận vị trí điểm tìm giá trị nhỏ nhất

Giải chi tiết

Đặt \(z=x+yi\,\,\,\left( x,\,\,y\in \mathbb{R} \right),\) khi đó \(\left| z-2i \right|=\left| z+2 \right|\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}={{\left( x+2 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}\Leftrightarrow x+y=0.\)

Suy ra tập hợp điểm \(M\) biểu diễn số phức \(z\) thuộc đường thẳng \(d:x+y=0.\)

Đặt \(A\left( 0;-\,2 \right),\,\,B\left( 5;-\,9 \right)\) \(\Rightarrow \) \(A,\,\,B\) cùng phía so với đường thẳng \(d\) (vì \(f\left( A \right).f\left( B \right)>0\)).

Gọi \(C\) là điểm đối xứng của \(A\) qua \(d\) \(\Rightarrow \) Phương trình \(AC:\)\(x-y-2=0\)\(\Rightarrow \) \(C\left( 1;-\,1 \right).\)

Khi đó \(P=MA+MB=MB+MC\ge BC=\sqrt{{{\left( -\,4 \right)}^{2}}+{{8}^{2}}}=4\sqrt{5}.\) Vậy \({{P}_{\min }}=4\sqrt{5}.\)

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.