Cho hình lập phương \(ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}'\) cạnh bằng \(1.\) Gọi \(M\) là điểm trên mặt phẳng

Câu hỏi số 264980:

Vận dụng cao

Cho hình lập phương \(ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}'\) cạnh bằng \(1.\) Gọi \(M\) là điểm trên mặt phẳng \(\left( {A}'BD \right)\) sao cho \(C{{M}^{2}}+{B}'{{M}^{2}}+{C}'{{M}^{2}}\) đạt giá trị nhỏ nhất. Tính \(MB.\)

A. \(\frac{2\sqrt{6}}{9}.\)

B. \(\frac{\sqrt{3}}{9}.\)

C. \(\frac{2\sqrt{3}}{9}.\)

D. \(\frac{2}{9}.\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:264980

Phương pháp giải

Gắn hệ trục tọa độ Oxyz, đưa về bài toán cực trị trong Oxyz bằng cách xác định điểm cố định

Giải chi tiết

Gắn hệ trục tọa độ \(Oxyz,\) với \(A\left( 0;0;0 \right),\,\,B\left( 1;0;0 \right),\,\,D\left( 0;1;0 \right),\,\,{A}'\left( 0;0;1 \right).\)

Gọi \(G\) là trọng tâm của tam giác \({B}'{C}'C\)\(\Rightarrow \,\,\overrightarrow{G{B}'}+\overrightarrow{G{C}'}+\overrightarrow{GC}=\vec{0}.\)

Khi đó \(C{{M}^{2}}+{B}'{{M}^{2}}+{C}'{{M}^{2}}={{\left( \overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GC} \right)}^{2}}+{{\left( \overrightarrow{MG}+\overrightarrow{G{B}'} \right)}^{2}}+{{\left( \overrightarrow{MG}+\overrightarrow{G{C}'} \right)}^{2}}\)

\(=3\,\,\times \,\,M{{G}^{2}}+2.\overrightarrow{MG}.\left( \overrightarrow{G{B}'}+\overrightarrow{G{C}'}+\overrightarrow{GC} \right)+G{{{B}'}^{2}}+G{{{C}'}^{2}}+G{{C}^{2}}\,\,\xrightarrow{{}}\,\,T.\)

Suy ra \({{T}_{\min }}\Leftrightarrow \,\,M{{G}_{\min }}\Leftrightarrow \) \(M\) là hình chiếu của \(G\) trên \(mp\,\,\left( {A}'BD \right).\)

Ta có \({B}'\left( 1;0;1 \right),\,\,{C}'\left( 1;1;1 \right)\Rightarrow \,\,G\left( 1;\frac{2}{3};\frac{2}{3} \right).\) Và \(\left[ \overrightarrow{{A}'B};\overrightarrow{{A}'D} \right]=\left( 1;1;1 \right).\)

Suy ra phương trình mặt phẳng \(\left( {A}'BD \right)\) là \(x+y+z-1=0\)\(\Rightarrow \,\,M\left( \frac{5}{9};\frac{2}{9};\frac{2}{9} \right).\) Vậy \(BM=\frac{2\sqrt{6}}{9}.\)

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.