Cho hình lập phương \(ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}'\) cạnh bằng \(1.\) Gọi \(M\) là điểm trên mặt phẳng
Cho hình lập phương \(ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}'\) cạnh bằng \(1.\) Gọi \(M\) là điểm trên mặt phẳng \(\left( {A}'BD \right)\) sao cho \(C{{M}^{2}}+{B}'{{M}^{2}}+{C}'{{M}^{2}}\) đạt giá trị nhỏ nhất. Tính \(MB.\)
Đáp án đúng là: A
Quảng cáo
Gắn hệ trục tọa độ Oxyz, đưa về bài toán cực trị trong Oxyz bằng cách xác định điểm cố định
Gắn hệ trục tọa độ \(Oxyz,\) với \(A\left( 0;0;0 \right),\,\,B\left( 1;0;0 \right),\,\,D\left( 0;1;0 \right),\,\,{A}'\left( 0;0;1 \right).\)
Gọi \(G\) là trọng tâm của tam giác \({B}'{C}'C\)\(\Rightarrow \,\,\overrightarrow{G{B}'}+\overrightarrow{G{C}'}+\overrightarrow{GC}=\vec{0}.\)
Khi đó \(C{{M}^{2}}+{B}'{{M}^{2}}+{C}'{{M}^{2}}={{\left( \overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GC} \right)}^{2}}+{{\left( \overrightarrow{MG}+\overrightarrow{G{B}'} \right)}^{2}}+{{\left( \overrightarrow{MG}+\overrightarrow{G{C}'} \right)}^{2}}\)
\(=3\,\,\times \,\,M{{G}^{2}}+2.\overrightarrow{MG}.\left( \overrightarrow{G{B}'}+\overrightarrow{G{C}'}+\overrightarrow{GC} \right)+G{{{B}'}^{2}}+G{{{C}'}^{2}}+G{{C}^{2}}\,\,\xrightarrow{{}}\,\,T.\)
Suy ra \({{T}_{\min }}\Leftrightarrow \,\,M{{G}_{\min }}\Leftrightarrow \) \(M\) là hình chiếu của \(G\) trên \(mp\,\,\left( {A}'BD \right).\)
Ta có \({B}'\left( 1;0;1 \right),\,\,{C}'\left( 1;1;1 \right)\Rightarrow \,\,G\left( 1;\frac{2}{3};\frac{2}{3} \right).\) Và \(\left[ \overrightarrow{{A}'B};\overrightarrow{{A}'D} \right]=\left( 1;1;1 \right).\)
Suy ra phương trình mặt phẳng \(\left( {A}'BD \right)\) là \(x+y+z-1=0\)\(\Rightarrow \,\,M\left( \frac{5}{9};\frac{2}{9};\frac{2}{9} \right).\) Vậy \(BM=\frac{2\sqrt{6}}{9}.\)
Đáp án cần chọn là: A
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
