Cho các số thực dương \(x,\,\,y\) thoả mãn điều kiện \({{\log }_{x\,+\,y}}\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}

Câu hỏi số 265097:

Vận dụng cao

Cho các số thực dương \(x,\,\,y\) thoả mãn điều kiện \({{\log }_{x\,+\,y}}\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right)\le 1.\) Giá trị lớn nhất của biểu thức \(A=48{{\left( x+y \right)}^{3}}-156{{\left( x+y \right)}^{2}}+133\left( x+y \right)+4\) là

\(29.\)

B. \(\frac{1369}{36}.\)

C. \(30.\)

D. \(\frac{505}{36}.\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:265097

Phương pháp giải

Dựa vào giả thiết, tìm điều kiện biến \(t=x+y\) đưa về khảo sát hàm một biến tìm giá trị lớn nhất

Giải chi tiết

TH1: Với \(\left\{ \begin{align} & x,\,y>0 \\& x+y<1 \\\end{align} \right.\)\(\Rightarrow x,\,\,y\in \left( 0;1 \right)\)\(\Rightarrow \) \(\left\{ \begin{align} & {{x}^{2}}<x \\& {{y}^{2}}<y \\\end{align} \right.\) \(\Rightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}<x+y\)\(\Rightarrow \) \({{\log }_{x\,+\,y}}\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right)>1\) (loại).

TH2: Với \(x+y\ge 1.\) Ta có \({{\log }_{x\,+\,y}}\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right)\le 1\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}\le x+y\) mà \({{x}^{2}}+{{y}^{2}}\ge \frac{{{\left( x+y \right)}^{2}}}{2}\)

Suy ra \(x+y\ge \frac{{{\left( x+y \right)}^{2}}}{2}\Leftrightarrow {{\left( x+y \right)}^{2}}-2\left( x+y \right)\le 0\Leftrightarrow 0\le x+y\le 2\). Đặt \(t=x+y\,\,\xrightarrow{{}}\,\,t\in \left[ 1;2 \right].\)

Khi đó, xét hàm số \(A=f\left( t \right)=48{{t}^{3}}-156{{t}^{2}}+133t+4\) trên \(\left[ 1;2 \right],\) có \({f}'\left( t \right)=144{{t}^{2}}-312t+133.\)

Phương trình \({f}'\left( t \right)=0\Leftrightarrow t=\frac{19}{12}.\) Tính \(f\left( 1 \right)=29;\,\,f\left( \frac{19}{12} \right)=\frac{505}{36};\,\,f\left( 2 \right)=30\)\(\Rightarrow \,\,{{A}_{\max }}=30.\)

Chọn C

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.