Cho tam giác ABC có ba góc nhọn \(\left( AB<AC \right)\) và có đường cao AH (H thuộc cạnh BC).

Câu hỏi số 265294:

Vận dụng

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn \(\left( AB<AC \right)\) và có đường cao AH (H thuộc cạnh BC). Gọi D, E lần lượt là trung điểm của AB và AC. Chứng minh DE là tiếp tuyến chung của hai đường tròn lần lượt ngoại tiếp tam giác DBH và ECH.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:265294

Phương pháp giải

Sử dụng tính chất: Góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung cùng chắn một cung của cùng 1 đường tròn thì bằng nhau.

Giải chi tiết

Ta có: D, E lần lượt là trung điểm của AB và AC nên DE là đường trung bình của tam giác ABC \(\Rightarrow DE//BC\)

\(\Rightarrow \widehat{EDH}=\widehat{DHB}\) (so le trong).

Tam giác AHB vuông tại H, có HD là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền AB \(\Rightarrow HD=\frac{1}{2}AB=AD=DB\)

\(\Rightarrow \Delta DHB\) cân tại D \(\Rightarrow \widehat{DHB}=\widehat{DBH}\) (hai góc ở đáy của tam giác cân).

\(\Rightarrow \widehat{EDH}=\widehat{DBH}\)

Lại có góc DBH là góc nội tiếp chắn cung DH của đường tròn ngoại tiếp tam giác DBH.

Góc EDH nằm tạo bởi dây cung DH và tia DE với D thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác DBH, nằm ở vị trí góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung, chắn cung DH của đường tròn ngoại tiếp tam giác DBH.

\(\Rightarrow DE\) là tiếp tuyến tại D của đường tròn ngoại tiếp tam giác DBH.

Chứng minh tương tự ta có : \(\widehat{DEH}=\widehat{EHC}=\widehat{ECH}\)

Lại có góc ECH là góc nội tiếp chắn cung EH của đường tròn ngoại tiếp tam giác ECH.

Góc DEH nằm tạo bởi dây cung EH và tia ED, nằm ở vị trí góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung, chắn cung EH của đường tròn ngoại tiếp tam giác ECH.

\(\Rightarrow DE\) là tiếp tuyến tại E của đường tròn ngoại tiếp tam giác ECH.

Vậy DE là tiếp tuyến chung của hai đường tròn lần lượt ngoại tiếp tam giác DBH và ECH.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link