Cho số thực \(x,\ y\) không âm thỏa mãn \(\left( x+1 \right)\left( y+1 \right)=2.\) Tính giá trị của

Câu hỏi số 265590:

Vận dụng

Cho số thực \(x,\ y\) không âm thỏa mãn \(\left( x+1 \right)\left( y+1 \right)=2.\) Tính giá trị của biểu thức:

\(P=\sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}-\sqrt{2\left( {{x}^{2}}+1 \right)\left( {{y}^{2}}+1 \right)}+2}+xy.\)

A. \(P=1.\)

B. \(P=2.\)

C. \(P=3.\)

D. \(P=4.\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:265590

Phương pháp giải

Biến đổi biểu thức bài cho sau đó đặt ẩn phụ và tính gái trị biểu thức.

Giải chi tiết

Theo giả thiết: \(\left( x+1 \right)\left( y+1 \right)=2\Leftrightarrow xy+x+y+1=2\Leftrightarrow xy+\left( x+y \right)=1.\)

Ta có: \(P=\sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}-\sqrt{2\left( {{x}^{2}}+1 \right)\left( {{y}^{2}}+1 \right)}+2}+xy\)

\(\begin{align} & =\sqrt{{{\left( x+y \right)}^{2}}-2xy-\sqrt{2\left( {{x}^{2}}{{y}^{2}}+{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+1 \right)}+2}+xy \\ & =\sqrt{{{\left( x+y \right)}^{2}}-2xy+2-\sqrt{2\left[ {{\left( xy \right)}^{2}}+{{\left( x+y \right)}^{2}}-2xy+1 \right]}}+xy. \\ \end{align}\)

Đặt \(\left\{ \begin{align} & x+y=a\ \ \left( a\ge 0 \right) \\ & xy=b\ \ \ \left( b\ge 0 \right) \\ \end{align} \right.\Rightarrow a+b=1\Leftrightarrow b=1-a.\)

\(\begin{align} & \Rightarrow P=\sqrt{{{a}^{2}}-2b+2-\sqrt{2\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}-2b+1 \right)}}+b \\ & =\sqrt{{{a}^{2}}-2\left( 1-a \right)+2-\sqrt{2\left[ {{a}^{2}}+{{\left( 1-a \right)}^{2}}-2\left( 1-a \right)+1 \right]}}+1-a \\ & =\sqrt{{{a}^{2}}+2a-\sqrt{2\left( 2{{a}^{2}} \right)}}+1-a \\ & =\sqrt{{{a}^{2}}+2a-\left| 2a \right|}+1-a \\ & =\sqrt{{{a}^{2}}+2a-2a}+1-a\ \ \ \left( do\ \ \ a>0 \right) \\ & =\sqrt{{{a}^{2}}}+1-a \\ & =a+1-a=1\ \ \ \left( do\ \ a>0 \right). \\ \end{align}\)

Vậy \(P=1.\)

Đáp án cần chọn là: A

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link