Cho các số thực \(x,\ y,\ z\) không âm thỏa mãn

Câu hỏi số 265591:

Vận dụng

Cho các số thực \(x,\ y,\ z\) không âm thỏa mãn \({{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}+{{x}^{2}}{{y}^{2}}+{{y}^{2}}{{z}^{2}}+{{z}^{2}}{{x}^{2}}=6.\) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(Q=x+y+z.\)

A. \( Max\ Q=6.\)

B. \( Max\ Q=5.\)

C. \( Max\ Q=4.\)

D. \( Max\ Q=3.\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:265591

Phương pháp giải

+) Tính \({{Q}^{2}}\), thay \({{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}=6-{{\left( xy \right)}^{2}}-{{\left( yz \right)}^{2}}-{{\left( xz \right)}^{2}}\).

+) Thêm bớt để tạo hằng đẳng thức.

+) Đánh giá GTLN nhờ các hằng đẳng thức.

Giải chi tiết

Ta có: \({{Q}^{2}}={{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}+2\left( xy+yz+zx \right)=6-{{\left( xy \right)}^{2}}-{{\left( yz \right)}^{2}}-{{\left( zx \right)}^{2}}+2xy+2yz+2zx\)

\(\begin{align} & =9-\left[ {{\left( xy-1 \right)}^{2}}+{{\left( yz-1 \right)}^{2}}+{{\left( zx-1 \right)}^{2}} \right]\le 9\Leftrightarrow Q\le 3. \\ & \Rightarrow Max\ Q=3. \\ \end{align}\)

Dấu “=” xảy ra \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & xy=yz=zx=1 \\ & {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}=3 \\ \end{align} \right.\Leftrightarrow x=y=z=1.\)

Đáp án cần chọn là: D

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link