Cho các số thực \(x,\ y,\ z\) không âm thỏa mãn

Câu hỏi số 265591:

Vận dụng

Cho các số thực \(x,\ y,\ z\) không âm thỏa mãn \({{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}+{{x}^{2}}{{y}^{2}}+{{y}^{2}}{{z}^{2}}+{{z}^{2}}{{x}^{2}}=6.\) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(Q=x+y+z.\)

A. \( Max\ Q=6.\)

B. \( Max\ Q=5.\)

C. \( Max\ Q=4.\)

D. \( Max\ Q=3.\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:265591

Phương pháp giải

+) Tính \({{Q}^{2}}\), thay \({{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}=6-{{\left( xy \right)}^{2}}-{{\left( yz \right)}^{2}}-{{\left( xz \right)}^{2}}\).

+) Thêm bớt để tạo hằng đẳng thức.

+) Đánh giá GTLN nhờ các hằng đẳng thức.

Giải chi tiết

Ta có: \({{Q}^{2}}={{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}+2\left( xy+yz+zx \right)=6-{{\left( xy \right)}^{2}}-{{\left( yz \right)}^{2}}-{{\left( zx \right)}^{2}}+2xy+2yz+2zx\)

\(\begin{align} & =9-\left[ {{\left( xy-1 \right)}^{2}}+{{\left( yz-1 \right)}^{2}}+{{\left( zx-1 \right)}^{2}} \right]\le 9\Leftrightarrow Q\le 3. \\ & \Rightarrow Max\ Q=3. \\ \end{align}\)

Dấu “=” xảy ra \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & xy=yz=zx=1 \\ & {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}=3 \\ \end{align} \right.\Leftrightarrow x=y=z=1.\)

Đáp án cần chọn là: D

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link