1) Cho biểu thức \(M=\frac{{{\left( a+b \right)}^{2}}}{{{a}^{3}}+a{{b}^{2}}-{{a}^{2}}b-{{b}^{3}}}\) với a, b là

Câu hỏi số 265592:

Vận dụng

1) Cho biểu thức \(M=\frac{{{\left( a+b \right)}^{2}}}{{{a}^{3}}+a{{b}^{2}}-{{a}^{2}}b-{{b}^{3}}}\) với a, b là hai số nguyên dương phân biệt. Chứng minh rằng M không thể nhận giá trị nguyên.

2) Cho a, b là hai số nguyên dương, đặt : \(A={{\left( a+b \right)}^{2}}-2{{a}^{2}},\,\,B={{\left( a+b \right)}^{2}}-2{{b}^{2}}\)

Chứng minh rằng A, B không đồng thời là số chính phương.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:265592

Giải chi tiết

\(M=\frac{{{\left( a+b \right)}^{2}}}{{{a}^{3}}+a{{b}^{2}}-{{a}^{2}}b-{{b}^{3}}}=\frac{{{\left( a+b \right)}^{2}}}{{{a}^{2}}\left( a-b \right)+{{b}^{2}}\left( a-b \right)}=\frac{{{\left( a+b \right)}^{2}}}{\left( a-b \right)\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right)}\)

Giả sử \(M\in Z\), khi đó ta có \({{\left( a+b \right)}^{2}}\) chia hết cho \({{a}^{2}}+{{b}^{2}}\) (Vì a, b là các số nguyên)

\(\Rightarrow \left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+2ab \right)\,\,\vdots \,\,\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right)\Rightarrow 2ab\,\,\vdots \,\,\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right)\)

Ta có \(0<2ab={{a}^{2}}+{{b}^{2}}-{{\left( a-b \right)}^{2}}<{{a}^{2}}+{{b}^{2}}\) , do đó \(2ab\) không thể chia hết cho \({{a}^{2}}+{{b}^{2}}\)

Do đó giả sử ban đầu sai. Vậy M không là số nguyên.

2) Cho a, b là hai số nguyên dương, đặt : \(A={{\left( a+b \right)}^{2}}-2{{a}^{2}},\,\,B={{\left( a+b \right)}^{2}}-2{{b}^{2}}\)

Chứng minh rằng A, B không đồng thời là số chính phương.

Giả sử tồn tại các số nguyên dương a, b sao cho \({{\left( a+b \right)}^{2}}-2{{a}^{2}}\) và \({{\left( a+b \right)}^{2}}-2{{b}^{2}}\) đều là số chính phương. Trong các cặp số nguyên dương \(\left( a;\ b \right)\) như vậy, đương nhiên tồn tại một cặp số \(\left( a;\ b \right)\) sao cho a là nhỏ nhất.

Ta xét cặp \(\left( a;\ b \right)\) sao cho a nhỏ nhất. Đặt \(\left\{ \begin{align} & {{x}^{2}}={{\left( a+b \right)}^{2}}-2{{a}^{2}} \\ & {{y}^{2}}={{\left( a+b \right)}^{2}}-2{{b}^{2}} \\ \end{align} \right.\,\,\left( x;y\in N \right)\Rightarrow {{\left( a+b \right)}^{2}}-{{x}^{2}}=2{{a}^{2}}.\)

Ta có \(2{{a}^{2}}\) là số chẵn \(\Rightarrow {{\left( a+b \right)}^{2}}\) và \({{x}^{2}}\) cùng tính chẵn lẻ.

TH1 : \({{\left( a+b \right)}^{2}}\) và \({{x}^{2}}\) cùng chẵn.

Đặt \({{\left( a+b \right)}^{2}}={{\left( 2m \right)}^{2}}=4{{m}^{2}};\,\,{{x}^{2}}={{\left( 2n \right)}^{2}}=4{{n}^{2}}\,\,\left( m,n\in Z \right)\Rightarrow {{\left( a+b \right)}^{2}}-{{x}^{2}}=4\left( {{m}^{2}}-{{n}^{2}} \right)\) chia hết cho 4.

TH2 : \({{\left( a+b \right)}^{2}}\) và \({{x}^{2}}\) cùng lẻ.

Đặt \({{\left( a+b \right)}^{2}}={{\left( 2k+1 \right)}^{2}}=4{{k}^{2}}+4k+1;\,\,{{x}^{2}}={{\left( 2l+1 \right)}^{2}}=4{{l}^{2}}+4l+1\,\,\left( k,l\in Z \right)\Rightarrow {{\left( a+b \right)}^{2}}-{{x}^{2}}=4\left( {{k}^{2}}+k-{{l}^{2}}-l \right)\) chia hết cho 4.

Do đó \({{\left( a+b \right)}^{2}}-{{x}^{2}}\) luôn chia hết cho 4 \(\Rightarrow 2{{a}^{2}}\,\,\vdots \,\,4\Rightarrow {{a}^{2}}\,\,\vdots \,\,2\Rightarrow a\,\,\vdots \,\,2\)

Chứng minh tương tự ta có b chia hết cho 2.

\(\Rightarrow {{\left( a+b \right)}^{2}}\,\,\vdots \,\,2\Rightarrow {{x}^{2}}\,\,\vdots \,\,2\Rightarrow x\,\,\vdots \,\,2\), tương tự \(y\,\,\vdots \,\,2\)

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}
{x^2} = {\left( {a + b} \right)^2} - 2{a^2}\\
{y^2} = {\left( {a + b} \right)^2} - 2{b^2}
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{\left( {\frac{a}{2} + \frac{b}{2}} \right)^2} - 2{\left( {\frac{a}{2}} \right)^2} = {\left( {\frac{x}{2}} \right)^2}\\
{\left( {\frac{a}{2} + \frac{b}{2}} \right)^2} - 2{\left( {\frac{b}{2}} \right)^2} = {\left( {\frac{y}{2}} \right)^2}
\end{array} \right.\)đều là số chính phương, do đó cặp số \(\left( \frac{a}{2};\frac{b}{2} \right)\) cũng thỏa mãn yêu cầu bài toán và \(\frac{a}{2}<a\,\,\left( Do\,\,a\in N \right)\).

Mâu thuẫn với giả sử a là số nhỏ nhất sao cho cặp số (a;b) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Vậy với mọi a, b nguyên dương, các số A, B không thể đồng thời là số chính phương.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link