Cho tam giác ABC cân tại A. Gọi M là điểm bất kì trên cạnh AC (M không trùng A và C). Một

Câu hỏi số 266554:

Vận dụng

Cho tam giác ABC cân tại A. Gọi M là điểm bất kì trên cạnh AC (M không trùng A và C). Một đường thẳng đi qua M cắt cạnh BC tại I và cắt đường thẳng AB tại N sao cho I là trung điểm của MN. Đường phân giác trong của góc BAC cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN tại điểm D (D không trùng A). Chứng minh rằng:

a) \(DN = DM\) và \(DI \bot MN\)

b) Tứ giác BNDI nội tiếp

c) Đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN luôn đi qua một điểm cố định (khác điểm A) khi M di chuyển trên cạnh AC.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:266554

Phương pháp giải

Phương pháp:

a) Chứng minh sđ cung DN = sđ cung DM.

b) Chứng minh tứ giác BNDI có tổng hai góc đối bằng 180⁰.

c) Dựa vào các điểm cố định và điều kiện I là trung điểm của MN.

Giải chi tiết

a) \(DN = DM\) và \(DI \bot MN\)

Ta có \(\widehat {NAD} = \widehat {MAD}\,\,\left( {gt} \right)\) (Do AD là tia phân giác của góc MAN)

Nên sđ cung DN = sđ cung DM (hai góc nội tiếp bằng nhau thì chắn hai cung bằng nhau)

\( \Rightarrow DN = DM\) (hai dây căng hai cung bằng nhau thì bằng nhau).

\( \Rightarrow \Delta DMN\) cân tại D \( \Rightarrow \) Trung tuyến DI đồng thời là đường cao \( \Rightarrow DI \bot MN\).

b) Tứ giác BNDI nội tiếp

Ta có \(\widehat {DNM} = \widehat {DAM}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung DM).

Mà \(\widehat {DAM} = \widehat {DAN}\,\,\left( {gt} \right) \Rightarrow \widehat {DNM} = \widehat {DAN}\)

\( \Rightarrow {90^0} - \widehat {DNM} = {90^0} - \widehat {DAN} \Leftrightarrow \widehat {NDI} = \widehat {ABC}\) (Do tam giác ABC cân tại A nên phân giác AD đồng thời là đường cao, tức là: \(AD \bot BC\) )

Mà \(\widehat {ABC} + \widehat {IBN} = {180^0}\) (kề bù) \( \Rightarrow \widehat {NDI} + \widehat {IBN} = {180^0} \Rightarrow \) tứ giác BNDI nội tiếp (Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 180⁰).

c) Đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN luôn đi qua một điểm cố định (khác điểm A) khi M di chuyển trên cạnh AC.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link